(1)证明:连接DD1,∵点D1为棱B1C1的中点, 则DD1CC1AA1,所以四边形AA1D1D为平行四边形 ∴A1D1∥AD.…(3分) 又AD⊂平面ADC1,A1D1⊄平面ADC1, ∴A1D1∥平面ADC1…(5分) (2)证明:在正三棱柱ABC-A1B1C1中, ∵CC1⊥底面ABC,又AD⊂底面ABC ∴AD⊥CC1…(7分) ∵点D为棱BC的中点, ∴AD⊥BC,…(8分) CC1⊂平面BCC1B1,BC⊂平面BCC1B1,CC1∩BC=C, ∴AD⊥平面BCC1B1…(9分) 又∵AD⊂平面ADC1, ∴平面ADC1⊥平面BCC1B1…(10分) (3)由(1)得AD⊥平面BCC1B1, ∴AD⊥BC,AD⊥C1D ∴∠C1DC为二面角C1-AD-C的平面角…(12分) 又CD=1,CC1=4,∴C1D= 在Rt△C1CD中,cos∠C1DC=== ∴二面角C1-AD-C的余弦值为.…(14分)
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