如图,在三棱锥P-ABC中,PB⊥面ABC,∠ABC=90°,AB=BC=2,∠PAB=45°,点D,E,F分别是AC,AB,BC的中点.(1)求证:EF⊥PD

如图,在三棱锥P-ABC中,PB⊥面ABC,∠ABC=90°,AB=BC=2,∠PAB=45°,点D,E,F分别是AC,AB,BC的中点.(1)求证:EF⊥PD

题型:不详难度:来源:
如图,在三棱锥P-ABC中,PB⊥面ABC,∠ABC=90°,AB=BC=2,∠PAB=45°,点D,E,F分别是AC,AB,BC的中点.
(1)求证:EF⊥PD;
(2)求直线PF与平面PBD所成的角的大小;
(3)求二面角E-PF-B的大小.
答案
(1)证明:连接BD
在△ABC中,∠ABC=90°
∵AB=BC,点D为AC的中点,∴BD⊥AC
∵PB⊥平面ABC,∴BD为PD在平面ABC内的射影
∴PD⊥AC
∵E、F分别为AB、BC的中点,∴EFAC
∴EF⊥PD;
(2)∵PB⊥平面ABC,∴PB⊥EF.
连接BD交EF于点O,∵EF⊥PB,EF⊥PD,∴EF⊥平面PBD,
∴∠FPO为直线PF与平面PBD所成的角,EF⊥PO.
∵PB⊥面ABC,∴PB⊥AB,PB⊥BC,又∵∠PAB=45°,
∴PB=AB=2.
在Rt△FPO中,OF=
1
4
AC
=


2
2
,PF=


PB2+BF2
=


5

∴sin∠FPO=
OF
PF
=


10
10

∴直线PF与平面PBD所成的角为arcsin


10
10

(3)过点B作BM⊥PF于点F,连接EM,
∵AB⊥PB,AB⊥BC,
∴AB⊥平面PBC,即BM为EM在平面PBC内的射影,
∴EM⊥PF,
∴∠EMB为二面角E-PF-B的平面角.
∵Rt△PBF中,BM=
PB•BF
PF
=
2


5

∴tan∠EMB=
EB
BM
=


5
2

∴二面角E-PF-B的大小为arctan


5
2
举一反三
在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,PA⊥平面ABCD,PA=
4
5


3
,那么二面角A-BD-P的大为(  )
A.30°B.45°C.60°D.75°
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如果正四棱锥的底面边长为2,侧面积为4


2
,则它的侧面与底面所成的(锐)二面角的大小为______.
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如图,在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中,ADBC,∠ABC=90°,PA⊥平面ABCD,PA=4.AD=2,AB=2


3
,BC=6.
(Ⅰ)求证:BD⊥平面PAC;
(Ⅱ)求二面角A-PC-D的余弦值.
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如图,四棱锥P-ABCD是底面边长为1的正方形,PD⊥BC,PD=1,PC=


2

(Ⅰ)求证:PD⊥面ABCD;
(Ⅱ)求二面角A-PB-D的大小.
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如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高为3,底面是边长为4且∠DAB=60°的菱形,AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,则二面角O1-BC-D的大小为______.
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