证明:(Ⅰ)连接DO,BO∥CD且BO=CD,则四边形BODC是平行四边形, 故BC∥OD,又BC⊥AB,则BO⊥OD,因为PO⊥平面ABCD, 可知OD、OB、OP两两垂直,分别以OD、OB、OP为x、y、z轴建立空间直角坐标系. 设AO=1,则B(0,2,0),C(2,2,0),D(2,0,0),E(0,-1,1),P(0,0,2), 则=(0,-1,-1),=(0,2,-2),=(2,0,0). 则•=0,•=0,故PE⊥PB,PE⊥BC,又PB∩BC=B, ∴PE⊥平面PBC. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,平面PBC的一个法向量==(0,-1,-1),设面PBD的一个法向量为=(x,y,z),=(0,2,-2),=(2,-2,0), 由得取=(1,1,1), 则cos<,>===-, 故二面角C-PB-D的大小为arccos. (Ⅲ)存在满足条件的点M. 由(Ⅰ)可知,向量是平面PBC的一个法向量, 若在线段PE上存在一点M,使DM∥平面PBC,设=λ, 则=+=(-2,0,2)+λ(0,-1,-1)=(-2,-λ,2-λ),由•=0, 得λ-(2-λ)=0,∴λ=1,即M点与线段PE的端点E重合. |