(1)如图,过P作PO⊥AC,∵平面PAC⊥平面ABC,∴PO⊥平面ABC. 在△APC中,∠APC=90°,AC=2PA=4,∴∠PAC=60°,∴PO=APsin60°=,AO=1. ∴三棱锥P-ABC的体积V=PO×S△ABC=×××42=4. (2)取AC,AB的中点分别为M,N,连接BM,ON. 在等边△ABC中,∵O、N分别为AM、AB的中点,∴ON∥BM,∴ON⊥AC. 由(1)可知:PO⊥平面ABC,∴PO⊥ON,PO⊥OC,因此可以建立如图所示的空间直角坐标系. A(0,-1,0),B(2,1,0),C(0,3,0),P(0,0,). ∴=(2,2,0),=(0,1,). 设=(x,y,z)为平面PAB的一个法向量,则•=0,•=0. ∴,令y=-,则x=1,z=1.∴=(1,-,1). ∵x轴⊥平面APC,∴可以取=(1,0,0)作为平面APC的法向量. 设二面角B-AP-C的大小为θ,由图可知θ∈(0,). ∴cosθ===. ∴二面角B-AP-C的余弦值为. (3)在线段AC上存在点Q,使得△PQB为直角三角形. 设Q(0,m,0)(-1≤m≤3). 则=(0,m,-),=(-2,m-1,0),=(2,1,-). ①当∠PQB=90°时,则•=0,得m(m-1)=0,解得m=0或1. 当m=0时,Q与O重合,△PQB为直角三角形,且=; 当m=1时,Q与M重合,△PQB为直角三角形,且=1; ②当∠PBQ=90°时,则•=0,得-12+m-1=0,解得m=13,不符合题意,应舍去; ③当∠BPQ=90°时,则•=0,得m+3=0=0,解得m=-3,不符合题意,应舍去. 综上可知:在线段AC上存在点Q,使得△PQB为直角三角形,且=或=1. |