如图多面体，它的正视图为直角三角形，侧视图为矩形，俯视图为直角梯形（尺寸如图所示）．（Ⅰ）求证：AE∥平面DCF；（Ⅱ）当AB的长为何值时，二面角A-EF-C的

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如图多面体，它的正视图为直角三角形，侧视图为矩形，俯视图为直角梯形（尺寸如图所示）．
（Ⅰ）求证：AE∥平面DCF；
（Ⅱ）当AB的长为何值时，二面角A-EF-C的大小为60°？

答案

（Ⅰ）证明：由三视图可知：△ABE与△DCF皆为直角三角形，且AB⊥BE，DC⊥CF，
侧面矩形ABCD⊥底面直角梯形BEFC，且BC=

3

，EF=2，∠CEF=90°．
由以上可得：AB∥CD，BE∥CF．
又AB⊄平面DCF，DC⊂平面DCF，∴AB∥平面DCF；
同理可证BE∥平面DCF．
又AB∩BE=B，∴平面ABE∥平面DCF．
∴AE∥平面DCF．
（Ⅱ）如图所示：
当AB=DC=6时，二面角A-EF-C的大小为60°．下面给出证明：
过点E作EM⊥CF，垂足为M，则EM∥BC，又BE∥CM，
∴四边形BCME为矩形，∴EM=

3

．
在Rt△EFM中，sin∠EFM=

EM

EF

=

3

2

，∴∠EFM=60°．
∴∠FEM=30°．
∵∠FEC=90°，∴∠CEM=60°，FE⊥CE．
在Rt△CEM中，CE=

ME

cos60°

=2

3

．
∵DC⊥BC，平面ABCD⊥平面BCFE，
∴DC⊥平面BCFE，∴DC⊥EF．
又∵DC∩CE=C，∴FE⊥平面DCE，∴FE⊥DE，
∴∠DCE是二面角A-EF-C的平面角，其大小为60°．
在Rt△DCE中，DC=CEtan60°=6=AB．
故当AB的长6时，二面角A-EF-C的大小为60°．