( I)证明:因为四边形ABCD为菱形, 所以OA⊥BD,OC⊥BD, 所以⇒⇒面AOC⊥面BCD…(6分) ( II)菱形沿对角线BD折成二面角A-BD-C后,仍然有AO⊥BD,CO⊥BD, ∴∠AOC是二面角A-BD-C的平面角,即∠AOC=60°…(8分) 作MK⊥OC,连接AK,如图所示:
因为MK∥BD,BD⊥面AOC, 所以MK⊥面AOC, 所以∠MAK是直线AM与面AOC所成的角…(10分) 因为菱形ABCD的边长为2,对角线AC与BD交于点O,且∠ABC=120°, 所以OC=AO=,BD=. 又因为MK⊥OC,M为BC的中点, 所以K为OC的中点, 所以OK=, 所以在△AOK中,因为∠AOC=60°, 所以AK2=AO2+OK2-2AO•OK•cos∠AOK=,所以AK=. 在Rt△AMK中, ∵AK=,MK=BO=, ∴AM=, ∴cos∠MAK===, ∴直线AM与面AOC所成角的余弦值是…(14分) |