如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB=BC=CA=2PA,D、E分别是棱AB,AC上的动点,且AD=CE,连接DE,当三棱锥P-ADE体积最大时,
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如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB=BC=CA=2PA,D、E分别是棱AB,AC上的动点,且AD=CE,连接DE,当三棱锥P-ADE体积最大时,
题型:不详
难度:
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如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB=BC=CA=2PA,D、E分别是棱AB,AC上的动点,且AD=CE,连接DE,当三棱锥P-ADE体积最大时,平面PDE和平面PBC所成二面角的余弦值为( )
A.
1
2
B.
3
2
C.
21
14
D.
5
7
14
答案
由题意,设AB=BC=CA=2PA=2,AD=CE=t,则三棱锥P-ADE体积为
1
3
×
1
2
×t×(2-t)×
3
2
=
3
12
(-
t
2
+2t)
=-
3
12
(t-1
)
2
+
3
12
∴t=1时,三棱锥P-ADE体积最大,此时,D、E分别是棱AB,AC上的中点
取DE中点M,BC中点N,连接PM,MN,PN,则
∵DE
∥
BC,PM⊥DE,PN⊥BC
∴∠MPN为平面PDE和平面PBC所成二面角,
在△MNP中,PM=
7
2
,MN=
3
2
,PN=2,
∴cos∠MPN=
P
M
2
+P
N
2
-M
N
2
2PM•PN
=
7
4
+4-
3
4
2•
7
2
•2
=
5
7
14
故选D.
举一反三
已知菱形ABCD的边长为2,对角线AC与BD交于点O,且∠ABC=120°,M为BC的中点.将此菱形沿对角线BD折成二面角A-BD-C.
( I)求证:面AOC⊥面BCD;
( II)若二面角A-BD-C为60°时,求直线AM与面AOC所成角的余弦值.
题型:不详
难度:
|
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如图△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形,平面MCD⊥平面BCD,AB⊥平面BCD,
AB=2
3
.
(1)求点A到平面MBC的距离;
(2)求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值.
题型:不详
难度:
|
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如图:在二面角α-l-β中,A、B∈α,C、D∈l,ABCD为矩形,p∈β,PA⊥α,且PA=AD,M、N依次是AB、PC的中点,
(1)求二面角α-l-β的大小
(2)求证:MN⊥AB
(3)求异面直线PA和MN所成角的大小.
题型:不详
难度:
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在直角坐标系中,A(-2,3),B(3,-2)沿x轴把直角坐标系折成90°的二面角,则此时线段AB的长度为( )
A.2
5
B.
38
C.5
2
D.4
2
题型:不详
难度:
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如图,在平行四边形ABCD中,∠DAB=60°,AB=2,AD=4,将△CBD沿BD折起到△EBD的位置,使平面EBD⊥平面ABD.
(1)求二面角E-AB-D的大小;
(2)求四面体ABDE的表面积.
题型:不详
难度:
|
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