设P1,P2,…Pn为平面α内的n个点,在平面α内的所有点中,若点P到点P1,P2,…Pn的距离之和最小,则称点P为P1,P2,…Pn的一个“中位点”,例如,线
题型:四川难度:来源:
设P1,P2,…Pn为平面α内的n个点,在平面α内的所有点中,若点P到点P1,P2,…Pn的距离之和最小,则称点P为P1,P2,…Pn的一个“中位点”,例如,线段AB上的任意点都是端点A,B的中位点,现有下列命题: ①若三个点A、B、C共线,C在线段AB上,则C是A,B,C的中位点; ②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点; ③若四个点A、B、C、D共线,则它们的中位点存在且唯一; ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点. 其中的真命题是______(写出所有真命题的序号). |
答案
①若三个点A、B、C共线,C在线段AB上,根据两点之间线段最短,则C是A,B,C的中位点,正确; ②举一个反例,如边长为3,4,5的直角三角形ABC,此直角三角形的斜边的中点到三个顶点的距离之和为5+2.5=7.5,而直角顶点到三个顶点的距离之和为7, ∴直角三角形斜边的中点不是该直角三角形三个顶点的中位点;故错误; ③若四个点A、B、C、D共线,则它们的中位点是中间两点连线段上的任意一个点,故它们的中位点存在但不唯一;故错误; ④如图,在梯形ABCD中,对角线的交点O,P是任意一点,则根据三角形两边之和大于第三边得 PA+PB+PC+PD≥AC+BD=OA+OB+OC+OD, ∴梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点.正确. 故答案为:①④. |
举一反三
如果一个命题的逆命题是真命题,则它的否命题( )A.一定是假命题 | B.不一定是假命题 | C.一定是真命题 | D.不一定是真命题 |
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下列命题中的真命题是( ) ①平行于同一条直线的两个平面平行 ②平行于同一个平面的两条直线平行 ③垂直于同一条直线的两个平面平行 ④垂直于同一个平面的两个平面平行. |
已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的,则其体积缩小到原来的; ②若两组数据的平均数相等,则它们的标准差也相等; ③直线x+y+1=0与圆x2+y2=相切. 其中真命题的序号是( ) |
给出下列命题: ①如果a,b是两条直线,且a∥b,那么a平行于经过b的任何平面; ②如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β; ③若直线a,b是异面直线,直线b,c是异面直线,则直线a,c也是异面直线; ④已知平面α⊥平面β,且α∩β=b,若a⊥b,则a⊥平面β; ⑤已知直线a⊥平面α,直线b在平面β内,a∥b,则α⊥β. 其中正确命题的序号是______. |
给定下列两个关于异面直线的命题: 命题Ⅰ:若平面 α 上的直线 a 与平面 β 上的直线 b 为异面直线,直线 c 是 α 与β 的交线,那么,c 至多与 a,b 中的一条相交; 命题Ⅱ:不存在这样的无穷多条直线,它们中的任意两条都是异面直线. 那么,( )A.命题Ⅰ正确,命题Ⅱ不正确 | B.命题Ⅱ正确,命题Ⅰ不正确 | C.两个命题都正确 | D.两个命题都不正确 |
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