如图:正△ABC与Rt△BCD所在平面互相垂直,且∠BCD=90°,∠CBD=30°.(1)求证:AB⊥CD;(2)求二面角D-AB-C的正切值.
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如图:正△ABC与Rt△BCD所在平面互相垂直,且∠BCD=90°,∠CBD=30°.(1)求证:AB⊥CD;(2)求二面角D-AB-C的正切值.
题型:不详
难度:
来源:
如图:正△ABC与Rt△BCD所在平面互相垂直,且∠BCD=90°,∠CBD=30°.
(1)求证:AB⊥CD;
(2)求二面角D-AB-C的正切值.
答案
(1)证明:∵DC⊥BC,且平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BCD=BC,
∴DC⊥平面ABC,
又AB⊂平面ABC,
∴DC⊥AB.…(5分)
(2)过C作CE⊥AB于E,连接ED,
∵AB⊥CD,AB⊥EC,CD∩EC=C,
∴AB⊥平面ECD,
又DE⊂平面ECD,∴AB⊥ED,
∴∠CED是二面角D-AB-C的平面角,…(9分)
设CD=a,则BC=
a
tan30°
=
3
a
,
∵△ABC是正三角形,
∴EC=BCsin60°=
3a
2
,
在Rt△DEC中,tan∠DEC=
DC
EC
=
a
3a
2
=
2
3
.…(13分)
举一反三
在直三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中,AC=BC=2,AA
1
=2
2
,∠ACB=90°,M是AA
1
的中点,N是BC
1
的中点
(1)求证:MN
∥
平面A
1
B
1
C
1
;
(2)求点C
1
到平面BMC的距离;
(3)求二面角B-C
1
M-A
1
的平面角的余弦值大小.
题型:不详
难度:
|
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如图所示,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为菱形,∠ABC=60°,AB=2,△PCB为正三角形,且平面PCB⊥平面ABCD,M,N分别为BC,PD的中点.
(1)求证:MN
∥
面APB;
(2)求二面角B-NC-P的余弦值;
(3)求四棱锥P-ABCD被截面MNC分成的上下两部分体积之比.
题型:不详
难度:
|
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正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,二面角C
1
-AB-C的平面角等于______.
题型:不详
难度:
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如图,AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆上的点.
(Ⅰ)求证:平面PAC⊥平面PBC;
(Ⅱ)若AB=2,AC=1,PA=1,求证:二面角C-PB-A的余弦值.
题型:不详
难度:
|
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已知几何体A-BCED的三视图如图所示,其中侧视图和俯视图都是腰长为4的等腰直角三角形,正视图为直角梯形.求:
(1)异面直线DE与AB所成角的余弦值;
(2)二面角A-ED-B的正弦值;
(3)此几何体的体积V的大小.
题型:不详
难度:
|
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