如图,边长为2的正方形ABCD中,点E、F分别是边AB、BC上的点,将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起,使A、C两点重合于点A′.(1)△A′EF恰好是正
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如图,边长为2的正方形ABCD中,点E、F分别是边AB、BC上的点,将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起,使A、C两点重合于点A′.(1)△A′EF恰好是正
题型:不详
难度:
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如图,边长为2的正方形ABCD中,点E、F分别是边AB、BC上的点,将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起,使A、C两点重合于点A′.
(1)△A′EF恰好是正三角形且Q是A′F的中点,求证:EQ⊥平面A′FD
(2)当E、F分别是AB、BC的中点时,求二面角A′-EF-D的正弦值.
答案
(1)∵DA′⊥A′E,DA′⊥A′F,A′E∩A′F=A′,
∴DA′⊥面A′EF,
∴DA′⊥EQ,
又△A′EF为正三角形,Q′为A′F的中点,
∴EQ⊥A′F,A′F∩DA′,
∴EQ⊥面DA′F;
(2)∵E、F为AB、BC的中点,
∴A′E=A′F=1,ED=FD=
A
D
2
+A
E
2
=
5
,EF=
B
E
2
+B
F
2
=
2
,
取EF中点O,连接A′O,OD,则A′O⊥EF,DO⊥EF,
∴∠A′OD为二面角A′-EF-D平面角,
OD=
E
D
2
-O
E
2
=
5-(
2
2
)
2
=
3
2
2
,A′O=
A′
E
2
-E
O
2
=
1-(
2
2
)
2
=
2
2
,
在△A′OD中,cos∠A′OD=
A′
O
2
+O
D
2
-A′
D
2
2A′O•OD
=
1
2
+
9
2
-4
2×
2
2
×
3
2
2
=
1
3
,
∴∠A′OD=arccos
1
3
,
故二面角A′-EF-D大小为arccos
1
3
.
举一反三
已知直四棱柱ABCD-A′B′C′D′,四边形ABCD为正方形,AA′=2AB=2,E为棱CC′的中点.
(Ⅰ)求证:A′E⊥平面BDE;
(Ⅱ)设F为AD中点,G为棱BB′上一点,且
BG=
1
4
BB′
,求证:FG
∥
平面BDE;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下求二面角G-DE-B的余弦值.
题型:不详
难度:
|
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如图,直三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中,AB⊥BC,E为棱CC
1
的中点,已知AB=
2
,BB
1
=2,BC=1.
(1)证明:BE是异面直线AB与EB
1
的公垂线;
(2)求二面角A-EB
1
-A
1
的大小;
(3)求点A
1
到面AEB
1
的距离.
题型:不详
难度:
|
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如图,在正三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中,BB
1
=BC=2,且M是BC的中点,点N在CC
1
上.
(1)试确定点N的位置,使AB
1
⊥MN;
(2)当AB
1
⊥MN时,求二面角M-AB
1
-N的大小.
题型:不详
难度:
|
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如图,正三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中,AB=2,AA
1
=1,点P在平面BCC
1
B
1
内,
P
B
1
=P
C
1
=
2
.
(1)求证:PA
1
⊥BC;
(2)求二面角C
1
-PA
1
-A.
题型:不详
难度:
|
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一个四棱锥P一ABCD的正视图是边长为2的正方形及其一条对角线,侧视图和俯视图全全等的等腰直角三角形,直角边长为2,直观图如图.
(1)求四棱锥P一ABCD的体积:
(2)求二面角C-PB-A大小;
(3)M为棱PB上的点,当PM长为何值时,CM⊥PA?
题型:不详
难度:
|
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