证明:(Ⅰ)∵四棱柱为直四棱柱, ∴BD⊥AC,BD⊥AA′,AC∩AA′=A, ∴BD⊥面ACEA′. ∵A′E⊂面ACEA′,∴BD⊥A′E. ∵A′B==,BE==,A′E==,∴A′B2=BE2+A′E2.∴A′E⊥BE. 又∵BD∩BE=B,∴A′E⊥面BDE.(4分)
(Ⅱ)以D为原点,DA为x 轴,DC为y 轴,DD′为z轴,建立空间直角坐标系. ∴A′(1,0,2),E(0,1,1),F(,0,0),G(1,1,). ∵由(Ⅰ)知:=(-1,1,-1) 为面BDE的法向量,=(,1,),(6分) ∵•=-1×+1×1+(-1)×=0.∴⊥. 又∵FG⊄面BDE,∴FG∥面BDE.(8分) (Ⅲ)设二面角G-DE-B的大小为θ, 平面DEG 的法向量为=(x,y,z),则 =(0,1,1),=(1,1,). ∵•=0×x+1×y+1×z=0,即y+z=0,•=1×x+1×y+×z=0,即x+y+=0. 令x=1,解得:y=-2,z=2,∴=(1,-2,2).(12分) ∴cosθ===-. ∴二面角G-DE-B的余弦值为.(14分)
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