已知二面角α-AB-β为120°,AC⊂α,BD⊂β,且AC⊥AB,BD⊥AB,AB=AC=BD=a,则CD的长为______.
题型:不详难度:来源:
已知二面角α-AB-β为120°,AC⊂α,BD⊂β,且AC⊥AB,BD⊥AB,AB=AC=BD=a,则CD的长为______. |
答案
由题意,作出如图的图象,在平面β中可过A作AB的垂线,过D作BD的垂线,两者交于E连接CE, 由作图知,四边形ABDE是矩形,故有DE=AB=a,AE=BD=a,AE⊥AB 又AC⊥AB,易得AB⊥面ACE,即有CE⊥AB,进而得CE⊥DE 有二面角的平面角的定义知,∠CAE=120° 在△CAE中,由余弦定义可得CE2=a2+a2-2×a2×(-)=3a2,故CE=a 在直角三角形CED中,由勾股定理得CD2=DE2+CE2=a2+3a2=4a2, 可得CD的长为2a 故答案为:2a.
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举一反三
如图,在三棱锥P-ABC中,D、E分别是BC、AB的中点,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,AB≠AC,AC>AD,PC与DE所成的角为α,PD与平面ABC所成的角为β,二面角P-BC-A的平面角为γ,则α,β,γ的大小关系是( )A.α<β<γ | B.α<γ<β | C.β<α<γ | D.γ<β<α |
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已知A、B、C三点在球心为O,半径为3的球面上,且几何体O-ABC为正三棱锥,若A、B两点的球面距离为π,则正三棱锥的侧面与底面所成角的余弦值为______. |
如图,三棱柱ABC-A′B′C′的所有棱长都相等,侧棱与底面垂直,M是侧棱BB′的中点,则二面角M-AC-B的大小为( ) |
如图,四棱柱ABCD-A′B′C′D′中,侧棱与底面垂直,AB∥CD,AD⊥DC,且AB=AD=1,BC=,AA′=. (I)求证:DB⊥BC′; (II)求二面角A′-BD-C的大小.
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如图,二面角α-l-β的棱l上有两点B、C,AB⊥l,CD⊥l,且AB⊆α,CD⊆β,若AB=CD=BC=2,AD=4,则此二面角的大小为______.
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