证明:(Ⅰ)∵A1A⊥平面ABC,BC⊂平面ABC, ∴A1A⊥BC.在Rt△ABC中,AB=,AC=2,∴BC=, ∵BD:DC=1:2,∴BD=,又==, ∴△DBA∽△ABC,∴∠ADB=∠BAC=90°,即AD⊥BC. 又A1A∩AD=A,∴BC⊥平面A1AD,∵BC⊂平面BCC1B1,∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.
(Ⅱ)如图,作AE⊥C1C交C1C于E点,连接BE, 由已知得AB⊥平面ACC1A1.∴AE是BE在面ACC1A1内的射影. 由三垂线定理知BE⊥CC1,∴∠AEB为二面角A-CC1-B的平面角. 过C1作C1F⊥AC交AC于F点, 则CF=AC-AF=1,C1F=A1A=,∴∠C1CF=60°. 在Rt△AEC中,AE=ACsin60°=2×=. 在Rt△BAE中,tanAEB===.∴∠AEB=arctan, 即二面角A-CC1-B为arctan. |