正△ABC与正△BCD所在平面垂直,则二面角ABDC的正弦值为______.
题型:不详难度:来源:
正△ABC与正△BCD所在平面垂直,则二面角ABDC的正弦值为______. |
答案
取BC的中点O,连接AO,DO,建立空间直角坐标系,如图所示
设BC=1,则A(0,0,),B(0,-,0),D(,0,0) ∴=(0,0,),=(,,0) 由题意,为平面BCD的法向量 设平面ABD的法向量为=(x,y,z),则 由,可得 取x=1,则y=-,z=1 ∴=(1,-,1) ∴cos<,>== ∴sin<,>= |
举一反三
如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直,∠BCF=∠CEF=90°,AD=,EF=2. (Ⅰ)求证:AE∥平面DCF; (Ⅱ)当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为60°? |
如图,在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中,平面PCD⊥平面ABCD,PC=PD=CD=2. (Ⅰ)求证:PD⊥BC; (Ⅱ)求二面角B-PD-C的大小; (Ⅲ)求点A到平面PBC的距离. |
已知△ABC中,∠BAC=90°,P为平面ABC外一点且PA=PB=PC,则二面角PBC-BC-ABC的大小是______. |
如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在线段AB,AD上,AE=EB=AF=FD=4.沿直线EF将△AEF翻折成△A′EF,使平面A′EF⊥平面BEF. (Ⅰ)求二面角A′-FD-C的余弦值; (Ⅱ)点M,N分别在线段FD,BC上,若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折,使C与A′重合,求线段FM的长. |
在直二面角α-l-β中,A∈α,B∈β,A,B都不在l上,AB与α所成角为x,AB与β所成角为y,AB与l所成角为z,则cos2x+cos2y+sin2z的值为( ) |
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