(Ⅰ)取线段EF的中点H,连接A′H,因为A′E=A′F及H是EF的中点,所以A′H⊥EF, 又因为平面A′EF⊥平面BEF. 如图建立空间直角坐标系A-xyz 则A′(2,2,2),C(10,8,0), F(4,0,0),D(10,0,0). 故=(-2,2,2),=(6,0,0). 设=(x,y,z)为平面A′FD的一个法向量, -2x+2y+2z=0 所以6x=0.
取z=,则=(0,-2,). 又平面BEF的一个法向量=(0,0,1), 故cos〈,>==. 所以二面角的余弦值为 (Ⅱ)设FM=x,则M(4+x,0,0), 因为翻折后,C与A重合,所以CM=A′M, 故,(6-x)2+82+02=(-2-x)2+22+(2)2,得x=, 经检验,此时点N在线段BC上, 所以FM=. 方法二: (Ⅰ)取线段EF的中点H,AF的中点G,连接A′G,A′H,GH. 因为A′E=A′F及H是EF的中点, 所以A′H⊥EF 又因为平面A′EF⊥平面BEF, 所以A′H⊥平面BEF,
又AF⊂平面BEF, 故A′H⊥AF, 又因为G、H是AF、EF的中点, 易知GH∥AB, 所以GH⊥AF, 于是AF⊥面A′GH, 所以∠A′GH为二面角A′-DH-C的平面角, 在Rt△A′GH中,A′H=2,GH=2,A"G=2 所以cos∠A′GH=. 故二面角A′-DF-C的余弦值为. (Ⅱ)设FM=x, 因为翻折后,C与A′重合, 所以CM=A′M, 而CM2=DC2+DM2=82+(6-x)2, A′M2=A′H2+MH2=A′H2+MG2+GH2=(2)2+(2+x)2+22, 故(6-x)2+82+02=(-2-x)2+22+(2)2 得x=, 经检验,此时点N在线段BC上, 所以FM=. |