(Ⅰ)证明:∵平面PCD⊥平面ABCD, 又平面PCD∩平面ABCD=CD,BC⊥CD,∴BC⊥平面PCD,(3分) ∵PD⊂平面PCD,∴BC⊥PD;(4分)
(Ⅱ)取PD的中点E,连接CE、BE, ∵△PCD为正三角形,∴CE⊥PD, 由(Ⅰ)知BC⊥平面PCD,∴CE是BE在平面PCD内的射影, ∴BE⊥PD,∴∠CEB为二面角B-PD-C的平面角,(7分) 在△CEB中,∠BCE=90°,BC=2,CE=,∴tan∠CEB==, ∴二面角B-PD-C的大小为arctan;(10分)
(Ⅲ)∵底面ABCD为正方形,∴AD∥BC, ∵BC⊂平面PBC,BC⊂平面PBC, ∴AD∥平面PBC,∴点A到平面PBC的距离等于点D到平面PBC的距离, 过D作DF⊥PC于F,∵BC⊥平面PCD,∴BC⊥DF,∵PC∩BC=C, ∴DF⊥平面PBC,且DF∩平面PBC=F,∴DF为点D到平面PBC的距离,(13分) 在等边△PCD中,DC=2,DF⊥PC,∴CF=1, DF==, ∴点A到平面PBC的距离等于.(14分) |