△ABC是正三角形，线段EA和DC都垂直于平面ABC，设EA=AB=2a，DC=a，且F为BE的中点，如图所示．（1）求证：DF∥平面ABC；（2）求证：AF⊥

题型：不详难度：来源：

△ABC是正三角形，线段EA和DC都垂直于平面ABC，设EA=AB=2a，DC=a，且F为BE的中点，如图所示．
（1）求证：DF∥平面ABC；
（2）求证：AF⊥BD；
（3）求平面BDE与平面ABC所成的较小二面角的大小．

答案

（1）证明：如图所示，取AB中点G，连CG、FG．


∵EF=FB，AG=GB，
∴FG

∥

.

1

2

EA．
又DC

∥

.

1

2

EA，∴FG

∥

.

DC．
∴四边形CDFG为平行四边形，∴DF∥CG．
∵DF?平面ABC，CG?平面ABC，
∴DF∥平面ABC．
（2）证明：∵EA⊥平面ABC，
∴AE⊥CG．
又△ABC是正三角形，G是AB的中点，
∴CG⊥AB．
∴CG⊥平面AEB．
又∵DE∥CG，
∴DF⊥平面AEB．
∴平面AEB⊥平面BDE．
∵AE=AB，EF=FB，
∴AF⊥BE．
∴AF⊥平面BED，
∴AF⊥BD．
（3）延长ED交AC延长线于G′，连BG′．
由CD=

1

2

AE，CD∥AE知，D为EG′的中点，
∴FD∥BG′．
又CG⊥平面ABE，FD∥CG．
∴BG′⊥平面ABE．
∴∠EBA为所求二面角的平面角．
在等腰直角三角形AEB中，可得∠ABE=45°．
∴平面BDE与平面ABC所成的较小二面角是45°．