△ABC是正三角形,线段EA和DC都垂直于平面ABC,设EA=AB=2a,DC=a,且F为BE的中点,如图所示.(1)求证:DF∥平面ABC;(2)求证:AF⊥

△ABC是正三角形,线段EA和DC都垂直于平面ABC,设EA=AB=2a,DC=a,且F为BE的中点,如图所示.(1)求证:DF∥平面ABC;(2)求证:AF⊥

题型:不详难度:来源:
△ABC是正三角形,线段EA和DC都垂直于平面ABC,设EA=AB=2a,DC=a,且F为BE的中点,如图所示.
(1)求证:DF平面ABC;
(2)求证:AF⊥BD;
(3)求平面BDE与平面ABC所成的较小二面角的大小.魔方格
答案
(1)证明:如图所示,取AB中点G,连CG、FG.
魔方格

∵EF=FB,AG=GB,
∴FG
.
1
2
EA.
又DC
.
1
2
EA,∴FG
.
DC.
∴四边形CDFG为平行四边形,∴DFCG.
∵DF?平面ABC,CG?平面ABC,
∴DF平面ABC.
(2)证明:∵EA⊥平面ABC,
∴AE⊥CG.
又△ABC是正三角形,G是AB的中点,
∴CG⊥AB.
∴CG⊥平面AEB.
又∵DECG,
∴DF⊥平面AEB.
∴平面AEB⊥平面BDE.
∵AE=AB,EF=FB,
∴AF⊥BE.
∴AF⊥平面BED,
∴AF⊥BD.
(3)延长ED交AC延长线于G′,连BG′.
由CD=
1
2
AE,CDAE知,D为EG′的中点,
∴FDBG′.
又CG⊥平面ABE,FDCG.
∴BG′⊥平面ABE.
∴∠EBA为所求二面角的平面角.
在等腰直角三角形AEB中,可得∠ABE=45°.
∴平面BDE与平面ABC所成的较小二面角是45°.
举一反三
二面角内一点到两个面的距离分别为2


2
,4,到棱的距离是4


2
,则二面角的度数是(  )
A.75°B.60°C.90°D.120°
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棱锥的正视图和侧视图都是正三角形,俯视图是正方形,则其侧面与底面所成二面角的大小是(  )
A.30°B.45°C.60°D.90°
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已知平面α截一球面得圆M,过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N,若该球的半径为4,圆M的面积为4π,则圆N的面积为(  )
A.7πB.9πC.11πD.13π
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椭圆
x2
4
+y2=1
的长轴为A1A2,短轴为B1B2,将坐标平面沿y轴折成一个二面角,使点A1在平面B1A2B2上的射影恰是该椭圆的一个焦点,则此二面角的大小为(  )
A.30B.45C.60D.arctan2
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在几何体ABCDE中,△ABC是等腰直角三角形,∠ABC=90°,BE和CD
都垂直于平面ABC,且BE=AB=2CD=2,点F是AE的中点.
(1)求证:DF平面ABC;
(2)求面BDF与面ABC所成的角余弦值.魔方格
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