(1)证明:如图所示,取AB中点G,连CG、FG.
∵EF=FB,AG=GB, ∴FGEA. 又DCEA,∴FGDC. ∴四边形CDFG为平行四边形,∴DF∥CG. ∵DF?平面ABC,CG?平面ABC, ∴DF∥平面ABC. (2)证明:∵EA⊥平面ABC, ∴AE⊥CG. 又△ABC是正三角形,G是AB的中点, ∴CG⊥AB. ∴CG⊥平面AEB. 又∵DE∥CG, ∴DF⊥平面AEB. ∴平面AEB⊥平面BDE. ∵AE=AB,EF=FB, ∴AF⊥BE. ∴AF⊥平面BED, ∴AF⊥BD. (3)延长ED交AC延长线于G′,连BG′. 由CD=AE,CD∥AE知,D为EG′的中点, ∴FD∥BG′. 又CG⊥平面ABE,FD∥CG. ∴BG′⊥平面ABE. ∴∠EBA为所求二面角的平面角. 在等腰直角三角形AEB中,可得∠ABE=45°. ∴平面BDE与平面ABC所成的较小二面角是45°. |