已知斜三棱柱ABC﹣,∠BCA=90°,AC=BC=2,在底面ABC上的射影恰为AC的中点D,又知B⊥A.(1)求证:A⊥平面BC;(2)求二面角A﹣B﹣C的大

已知斜三棱柱ABC﹣,∠BCA=90°,AC=BC=2,在底面ABC上的射影恰为AC的中点D,又知B⊥A.(1)求证:A⊥平面BC;(2)求二面角A﹣B﹣C的大

题型:江苏省期末题难度:来源:
已知斜三棱柱ABC﹣,∠BCA=90°,AC=BC=2,在底面ABC上的射影恰为AC的中点D,又知B⊥A
(1)求证:A⊥平面BC;
(2)求二面角A﹣B﹣C的大小.
答案
解:(1)取AB的中点E,
因为D为AC的中点
则DE为△ABC中位线,
得出DE∥BC,
因为BC⊥AC,
所以DE⊥AC,
D⊥平面ABC,
所以DE,DC,D 两两垂直,
以DE,DC,D为轴建立空间坐标系,
则A(0,﹣1,0),C(0,1,0),B(2,1,0),(0,0,t),(0,2,t),=(0,3,t),=(﹣2,﹣1,t),=(2,0,0),
·=0,知A⊥CB,
又B⊥A,,
从而A⊥平面ABC.
(2)由·=﹣3+t2=0,得t=
设平面AB的一个法向量为=(x,y,z),
因为=(0,1,),=(2,2,0),
所以
设z=1,则=(,1)
再设平面BC 的一个法向量为=(z",y",z"),
因为=(0,﹣1, ),=(2,0,0),
所以
设z=1,则为=(0,,1),
∴cos<>===﹣.,
又二面角A﹣B﹣C 为锐二面角,
所以大小为arccos
举一反三
椭圆=1的长轴为A2,短轴为B2,将椭圆沿y轴折成一个二面角,使得点在平面A2B2上的射影恰好为椭圆的右焦点,则该二面角的大小为[     ]
A.75°
B.60°
C.45°
D.30°
题型:内蒙古自治区期末题难度:| 查看答案
如图,已知平行四边形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=1,AD=2,
∠ADC=60°,AF=
(1)求证:AC⊥BF;
(2)求二面角F﹣BD﹣A的余弦值;
(3)求点A到平面FBD的距离.
题型:内蒙古自治区期末题难度:| 查看答案
如图在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是正方形,PA⊥底面ABCD,垂足为点A,PA=AB=1,点M,N分别是PD,PB的中点.
(I)求证:PB∥平面ACM;
(II)求证:MN⊥平面PAC;
(III)若 ,求平面FMN与平面ABCD所成二面角的余弦值.
题型:北京市期末题难度:| 查看答案
如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,
(1)求二面角A﹣DF﹣B的大小;
(2)在线段AC上找一点P,使PF与AD所成的角为60°,试确定点P的位置.
题型:江苏省月考题难度:| 查看答案
如图,在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,侧面A1ADD1⊥底面ABCD,D1A=D1D= ,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2, O为AD中点.
(Ⅰ)求证:A1O∥平面AB1C;
(Ⅱ)求锐二面角A﹣C1D1﹣C的余弦值.  
题型:河南省期末题难度:| 查看答案
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