如图,在三棱锥P-ABC中,∠APB=90°,∠PAB=60°,AB=BC=CA,点P在平面ABC内的射影O在AB上。(1)求直线PC与平面ABC所成的角的大小

如图,在三棱锥P-ABC中,∠APB=90°,∠PAB=60°,AB=BC=CA,点P在平面ABC内的射影O在AB上。(1)求直线PC与平面ABC所成的角的大小

题型:高考真题难度:来源:
如图,在三棱锥P-ABC中,∠APB=90°,∠PAB=60°,AB=BC=CA,点P在平面ABC内的射影O在AB上。
(1)求直线PC与平面ABC所成的角的大小;
(2)求二面角B-AP-C的大小。
答案
解:(1)连接OC,由已知,∠OCP为直线PC与平面ABC所成的角。

设AB中点为D,连接PD,CD
因为AB=BC=CA,
所以CD⊥AB,
因为∠APB=90°,∠PAB=60°,
所以△PAD为等边三角形,不妨设PA=2,则OD=1,OP=,AB=4
所以CD=2,OC===
在Rt△OCP中,tan∠OCP===
故直线PC与平面ABC所成的角的大小为arctan
(2)由(1)知,以O为原点,建立空间直角坐标系.则=(1,0,),=(2,2,0)。

设平面APC的一个法向量为=(x,y,z),
则由得出
取x=-,则y=1,z=1,所以=(-,1,1)
设二面角B-AP-C的平面角为β,易知β为锐角
而面ABP的一个法向量为=(0,1,0),
则cosβ===
故二面角B-AP-C的大小为arccos
举一反三
三棱锥P﹣ABC的两侧面PAB、PBC都是边长为2a的正三角形,AC=a,则二面角A﹣PB﹣C的大小为  [     ]
A.90°
B.30°
C.45°
D.60°
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如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=4,AC=BC=3,D为AB的中点.
(1)求异面直线CC1和AB的距离;
(2)若AB1⊥A1C,求二面角A1-CD-B1的平面角的余弦值。
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如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中AA1=AD=1,E为CD中点。
(1)求证:B1E⊥AD1
(2)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求AP的长;若不存在,说明理由。
(3)若二面角A-B1E-A1的大小为30°,求AB的长.
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在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=AC=AA1=,BC=4,在A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O。
(1)证明在侧棱AA1上存在一点E,使得OE⊥平面BB1C1C,并求出AE的长;
(2)求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值。
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如图,直三棱柱ABC-A"B"C",∠BAC=90°,AB=AC=λAA",点M,N分别为A"B和B"C"的中心。
(1)证明:MN∥平面A"ACC";
(2)若二面角A"-MN-C为直二面角,求λ的值.
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