在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=PB=PC=BC=2CD,平面PBC⊥平面ABCD.(Ⅰ)求证:AB⊥平面P

在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=PB=PC=BC=2CD,平面PBC⊥平面ABCD.(Ⅰ)求证:AB⊥平面P

题型:期末题难度:来源:
在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=PB=PC=BC=2CD,平面PBC⊥平面ABCD.
(Ⅰ)求证:AB⊥平面PBC;
(Ⅱ)求平面PAD和平面BCP所成二面角(小于90°)的大小;
(Ⅲ)在棱PB上是否存在点M使得CM∥平面PAD?若存在,求 的值;若不存在,请说明理由.
答案
(Ⅰ)证明:因为∠ABC=90°,所以AB⊥BC.
因为平面PBC⊥平面ABCD,平面PBC∩平面ABCD=BC,AB平面ABCD,
所以AB⊥平面PBC;
(Ⅱ)解:取BC的中点O,连接PO.
因为PB=PC,所以PO⊥BC.
因为平面PBC⊥平面ABCD,平面PBC∩平面ABCD=BC,PO平面PBC,
所以PO⊥平面ABCD.
如图,以O为原点,OB所在的直线为x轴,在平面ABCD内过O垂直于BC的直线为y轴,
OP所在的直线为z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz.
不妨设BC=2.
由直角梯形ABCD中AB=PB=PC=BC=2CD可得
P(0,0, ),D(﹣1,1,0),A(1,2,0).
所以 .
设平面PAD的法向量 
因为 ,所以  
令x=1,则y=﹣2,z=﹣ .
所以 .
取平面BCP的一个法向量 ,
所以cos =﹣ .
所以平面ADP和平面BCP所成的二面角(小于90°)的大小为 .
(Ⅲ)解:在棱PB上存在点M使得CM∥平面PAD,此时 .理由如下:
取AB的中点N,连接CM,CN,MN,则MN∥PA,AN= AB.
因为AB=2CD,所以QN=CD.
因为AB∥CD,所以四边形ANCD是平行四边形.
所以CN∥AD.
因为MN∩CN=N,PA∩AD=A,
所以平面MNC∥平面PAD
因为CM平面MNC,
所以CM∥平面PAD
 
举一反三
如图,在三棱锥P-ABC中,∠APB=90°,∠PAB=60°,AB=BC=CA,点P在平面ABC内的射影O在AB上。
(1)求直线PC与平面ABC所成的角的大小;
(2)求二面角B-AP-C的大小。
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三棱锥P﹣ABC的两侧面PAB、PBC都是边长为2a的正三角形,AC=a,则二面角A﹣PB﹣C的大小为  [     ]
A.90°
B.30°
C.45°
D.60°
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如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=4,AC=BC=3,D为AB的中点.
(1)求异面直线CC1和AB的距离;
(2)若AB1⊥A1C,求二面角A1-CD-B1的平面角的余弦值。
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如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中AA1=AD=1,E为CD中点。
(1)求证:B1E⊥AD1
(2)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求AP的长;若不存在,说明理由。
(3)若二面角A-B1E-A1的大小为30°,求AB的长.
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在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=AC=AA1=,BC=4,在A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O。
(1)证明在侧棱AA1上存在一点E,使得OE⊥平面BB1C1C,并求出AE的长;
(2)求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值。
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