如图,在三棱锥P-ABC中,已知PA⊥AB,PC⊥BC,AC=PC=,PA=,PB=,D、F分别是PB、AC的中点,(1)求证直线DF⊥平面ABC;(2)求二面

如图,在三棱锥P-ABC中,已知PA⊥AB,PC⊥BC,AC=PC=,PA=,PB=,D、F分别是PB、AC的中点,(1)求证直线DF⊥平面ABC;(2)求二面

题型:模拟题难度:来源:
如图,在三棱锥P-ABC中,已知PA⊥AB,PC⊥BC,AC=PC=,PA=,PB=,D、F分别是PB、AC的中点,
(1)求证直线DF⊥平面ABC;
(2)求二面角C-PA-B大小的余弦值.

答案
(1)证明:如图①,取AB、BC的中点E、G,连接DE、EF、DG、FG,
则FG∥AB,EF∥BC,DE∥PA,
∵PA⊥AB,∴DE⊥AB,
由勾股定理可得AB=2,BC=1,
又AC=
∴AC2=AB2+BC2
∴AB⊥BC,∴EF⊥AB,
∴AB⊥平面DEF,
∴DF⊥AB,同理DF⊥BC,
又AB、BC相交于B点,
∴直线DF⊥平面ABC。 (2)解:如图②,取PA的中点Q,连接QD,DC,QC,
∵PC=CA,PQ=QA,∴CQ⊥PA,
∵AB∥QD,AB⊥PA,
∴DQ⊥PA,
∴∠DQC为二面角C-PA-B的平面角,
在Rt△PCB中,
在△PAB中,
在△QAC中,
所以,在△DQC中,由余弦定理,可得
∴二面角C-PA-B的大小的余弦值为
举一反三
如图,正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB,E是侧棱AA1的中点。

(1)证明BC1⊥EC;
(2)求二面角A-EC-B的大小。
题型:云南省模拟题难度:| 查看答案
把正三角形ABC沿高AD折成二面角B-AD-C后,BC=AB,则二面角B-AD-C为 [     ]
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
题型:0125 模拟题难度:| 查看答案
如图,面ABEF⊥面ABCD,四边形ABEF与ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠BAF=90°,BCAD,BEAF.
(Ⅰ)求证:C、D、E、F四点共面;
(Ⅱ)若BA=BC=BE,求二面角A-ED-B的大小.

题型:四川省高考真题难度:| 查看答案
在四棱锥P-ABCD中,侧面PCD⊥底面ABCD,PD⊥CD,底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,∠ADC=90°,AB=AD=PD=1,CD=2。
(1)求证:BC⊥平面PBD;
(2)设Q为侧棱PC上一点,,试确定λ的值,使得二面角Q-BD-P为45°。
题型:0120 模拟题难度:| 查看答案
已知直二面角α-l-β,点A∈α,AC⊥l,C为垂足,点B∈β,BD⊥l,D为垂足,若AB=2,AC=BD=1,则CD=[     ]
A.2
B.
C.
D.1
题型:高考真题难度:| 查看答案
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