以题意可设椭圆C1和C2的方程分别为 ,.其中a>m>n>0, . (1)如图1,若直线l与y轴重合,即直线l的方程为x=0,则
, , 所以. 在C1和C2的方程中分别令x=0,可得yA=m,yB=n,yD=﹣m, 于是. 若,则,化简得λ2﹣2λ﹣1=0,由λ>1,解得. 故当直线l与y轴重合时,若S1=λS2,则. (2)如图2,若存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2,根据对称性,
不妨设直线l:y=kx(k>0), 点M(﹣a,0),N(a,0)到直线l的距离分别为d1,d2,则 ,所以d1=d2. 又,所以,即|BD|=λ|AB|. 由对称性可知|AB|=|CD|,所以|BC|=|BD|﹣|AB|=(λ﹣1)|AB|, |AD|=|BD|+|AB|=(λ+1)|AB|,于是. 将l的方程分别与C1和C2的方程联立,可求得
根据对称性可知xC=﹣xB,xD=﹣xA,于是 ② 从而由①和②可得 ③ 令,则由m>n,可得t≠1,于是由③可得. 因为k≠0,所以k2>0.于是③关于k有解,当且仅当, 等价于,由λ>1,解得, 即,由λ>1,解得,所以 当时,不存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2; 当时,存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2. |