(I)由题意,可设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),则c=,=, 所以a=2,b2=a2-c2=1, 所以椭圆C的方程为+y2=1. (II)证明:由椭圆C的方程可知,点A1的坐标为(-2,0),点A2的坐标为(2,0), 设动点M的坐标为(x0,y0),由题意可知0<x0<2,y0>0, 直线MA1的斜率k1=>0,直线MA2的斜率k2=<0, 所以k1k2=, 因为点M(x0,y0)在椭圆+y2=1上, 所以+y02=1,即y02=1-, 所以k1k2==-; (III)设直线MA1的方程为y=k1(x+2),令x=0,得y=2k1,所以点P的坐标为(0,2k1), 设直线MA2的方程为y=k2(x-2),令x=0,得y=-2k2,所以点Q的坐标为(0,-2k2), 由椭圆方程可知,点B的坐标为(0,1), 由|PB|=|BQ|,得|1-2k1|=|-2k2-1|, 由题意,可得1-2k1=(-2k2-1), 整理得4k1-2k2=3,与k1k2=-联立,消k1可得2k22+3k2+1=0, 解得k2=-1或k2=-, 所以直线MA2的直线方程为y=-(x-2)或y=-(x-2), 因为y=-(x-2)与椭圆交于上顶点,不符合题意. 把y=-(x-2)代入椭圆方程,得5x2-16x+12=0, 解得x=或2, 因为0<x0<2,所以点M的坐标为(,). |