已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率e=,左、右焦点分别为F1、F2,点P(2,),点F2在线段PF1的中垂线上.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设

已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率e=,左、右焦点分别为F1、F2,点P(2,),点F2在线段PF1的中垂线上.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设

题型:不详难度:来源:
已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率e=,左、右焦点分别为F1、F2,点P(2,),点F2在线段PF1的中垂线上.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线l:y=kx+m与椭圆C交于M、N两点,直线F2M与F2N的倾斜角分别为α,β,且α+β=π,试问直线l是否过定点?若过,求该定点的坐标.
答案
(1)由椭圆C的离心率e=,得=,其中c=,
椭圆C的左、右焦点分别为F1(-c,0)、F2(c,0).
又点F2在线段PF1的中垂线上,
∴|F1F2|=|PF2|,∴(2c)2=()2+(2-c)2
解得c=1,∴a2=2,b2=1,∴椭圆的方程为+y2=1.
(2)由题意直线MN的方程为y=kx+m,
由消去y得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0.
设M(x1,y1),N(x2,y2),
则x1+x2=-,x1x2=,且kF2M=,kF2N=,
由已知α+β=π得
即+=0.
化简,得2kx1x2+(m-k)(x1+x2)-2m=0,
∴2k·--2m=0,整理得m=-2k.
∴直线MN的方程为y=k(x-2),
因此直线MN过定点,该定点的坐标为(2,0).
解析

举一反三
(本题满分16分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分10分.
  已知两点,点是直角坐标平面上的动点,若将点的横坐标保持不变、纵坐标扩大到倍后得到点满足
(1) 求动点所在曲线的轨迹方程;
(2)(理科)过点作斜率为的直线交曲线两点,且满足,又点关于原点O的对称点为点,试问四点是否共圆,若共圆,求出圆心坐标和半径;若不共圆,请说明理由.
(文科)过点作斜率为的直线交曲线两点,且满足(O为坐标原点),试判断点是否在曲线上,并说明理由.
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B是点A(1,2,3)在坐标平面yOz内的射影,则|OB|=   
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(13分)已知圆和直线
⑴ 证明:不论取何值,直线和圆总相交;
⑵ 当取何值时,圆被直线截得的弦长最短?并求最短的弦的长度.
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双曲线的实轴长是(    )
A.2B.C.4D.4

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设过点的直线与椭圆相交于AB两个不同的点,且.记O为坐标原点.求的面积取得最大值时的椭圆方程.
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