(I)由x2=4y可得抛物线焦点坐标为(0,1),∴b=1, 又∵e=,∴=,∵a2=b2+c2,∴a2=4, ∴=, ∴椭圆C的方程为+y2=1,圆O的方程为x2+y2=5. (Ⅱ)∵过点P(0,)的直线l与椭圆C在第一象限内只有一个公共点, ∴直线l的斜率存在,设l的方程为y=kx+,k<0 由,得x2+4(kx+)2=4, 即(1+4k2)x2+8kx+16=0, 则△=(8k)2-64(1+4k2)=0, ∴k2=1,又k<0,k=-1, ∴直线l方程为y=-x+, 圆心O到直线l方程为y=-x+, 圆心O到直线l的距离d==, ∴直线l被圆O截得的弦长为2=. (Ⅲ)证明:若点M的坐标为(2,1),(2,-1),(-2,-1),(-2,1), 则过这四点分别作满足条件的直线l1,l2, 若一条直线斜率为0,则另一条斜率不存在,则l1⊥l2 若直线l1,l2斜率都存在,则设过M与椭圆只有一个公共点的直线方程为y-y0=k(x-x0), 由,得x2+4[kx+(y0-kx0)]2=4, 即(1+4k2)x2+8k(y0-kx0)•x+4(y0-kx0)2-4=0, 则△=[8k(y0-kx0)]2-4(1+4k2)[4(y0-kx0)2-4]=0, 化简得(4-x02)k2+2x0y0k+1-y02=0, ∵x02+y02=5, ∴(4-x02)k2+2x0yk+x02-4=0, 设l1,l2的斜率分别为k1,k2,因为l1,l2与椭圆都只有一个公共点, 所以k1,k2满足(4-x02)k2+2x0yk+x02-4=0, ∴k1•k2==-1, ∴l1⊥l2. |