过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A，B两点，A，B在x轴上的正射影分别为D，C．若梯形ABCD的面积为122，则P=_____

题型：湖南难度：来源：

过抛物线x²=2py（p＞0）的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A，B两点，A，B在x轴上的正射影分别为D，C．若梯形ABCD的面积为12

2

，则P=______．

答案

抛物线的焦点坐标为F（0，

p

2

），则过焦点斜率为1的直线方程为y=x+

p

2

，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₂＞x₁），由题意可知y₁＞0，y₂＞0
由

y=x+ p 2 x2=2py

，消去y得x²-2px-p2=0，
由韦达定理得，x₁+x₂=2p，x₁x₂=-p²
所以梯形ABCD的面积为：S=

1

2

（y₁+y₂）（x₂-x₁）=

1

2

（x₁+x₂+p）（x₂-x₁）=

1

2

•3p

( x1+x2)  2-4x1x2

=3

2

p²
所以3

2

p²=12

2

，又p＞0，所以p=2
故答案为2．