在平面直角坐标系xOy中,如图,已知椭圆的左、右顶点为A、B,右焦点为F,设过点T(t,m)的直线TA、TB与此椭圆分别交于点M(x1,y1)、N(x2,y2)

在平面直角坐标系xOy中,如图,已知椭圆的左、右顶点为A、B,右焦点为F,设过点T(t,m)的直线TA、TB与此椭圆分别交于点M(x1,y1)、N(x2,y2)

题型:江苏高考真题难度:来源:
在平面直角坐标系xOy中,如图,已知椭圆的左、右顶点为A、B,右焦点为F,设过点T(t,m)的直线TA、TB与此椭圆分别交于点M(x1,y1)、N(x2,y2),其中m>0,y1>0,y2<0,
(Ⅰ)设动点P满足PF2-PB2=4,求点P的轨迹;
(Ⅱ)设x1=2,x2=,求点T的坐标;
(Ⅲ)设t=9,求证:直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关).
答案
解:由题设得A(-3,0),B(3,0),F(2,0),
(Ⅰ)设点P(x,y),则PF2=(x-2)2+y2,PB2= (x-3)2+y2
由PF2-PB2=4,得(x-2)2+y2-(x-3)2-y2=4,化简得
故所求点P的轨迹为直线(Ⅱ)由及y1>0,得
则点,从而直线AM的方程为
及y2<0,得
则点,从而直线BN的方程为
,解得
所以点T的坐标为。 (Ⅲ)由题设知,直线AT的方程为
直线BT的方程为
点M(x1,y1)满足
因为x1≠-3,则,解得
从而得
点N(x2,y2)满足,解得
若x1=x2,则由及m>0,得
此时直线MN的方程为x=1,过点D(1,0);
若x1≠x2,则
直线MD的斜率
直线ND的斜率
得kMD=kND,所以直线MN过D点;
因此,直线MN必过x轴上的点(1,0)。
举一反三
已知圆C过点(1,0),且圆心在x轴的正半轴上,直线l:y=x-1被圆C所截得的弦长为2,则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为(    )。
题型:山东省高考真题难度:| 查看答案
如图,在平面直角坐标系xOy中,设三角形ABC的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C(c,0);点P(0,p)为线段AO上的一点 (异于端点),这里a,b,c,p为非零常数。设直线BP、CP分别与边AC、AB交于点E、F,某同学已正确求得直线OE的方程:,请你完成直线OF的方程:(    )x+
题型:江苏高考真题难度:| 查看答案
已知平面上两点M(-5,0)和N(5,0),若直线上存在点P使|PM|-|PN|=6,则称该直线为“单曲型直线”,下列直线中是“单曲型直线”的是
①y=x+1;②y=2;③y=;④y=2x+1。

[     ]

A.①②
B.①③
C.②③
D.③④
题型:0105 模拟题难度:| 查看答案
经过圆x2+2x+y2=0的圆心C,且与直线x+y=0垂直的直线方程是(    )。
题型:广东省高考真题难度:| 查看答案
直线y=3x绕原点逆时针旋转90°,再向右平移1个单位后所得的直线为[     ]
A.y=-x+
B.y=-x+1
C.y=3x-3 
D.y=x+1
题型:四川省高考真题难度:| 查看答案
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