解:由题设得A(-3,0),B(3,0),F(2,0), (Ⅰ)设点P(x,y),则PF2=(x-2)2+y2,PB2= (x-3)2+y2, 由PF2-PB2=4,得(x-2)2+y2-(x-3)2-y2=4,化简得 , 故所求点P的轨迹为直线 。 | ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191022/20191022194955-54603.gif) |
(Ⅱ)由 及y1>0,得 , 则点 ,从而直线AM的方程为 ; 由 及y2<0,得 , 则点 ,从而直线BN的方程为 ; 由 ,解得 , 所以点T的坐标为 。 | |
(Ⅲ)由题设知,直线AT的方程为 , 直线BT的方程为 , 点M(x1,y1)满足 得 , 因为x1≠-3,则 ,解得 , 从而得 ; 点N(x2,y2)满足 ,解得 ; 若x1=x2,则由 及m>0,得 , 此时直线MN的方程为x=1,过点D(1,0); 若x1≠x2,则 , 直线MD的斜率![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191022/20191022195001-96333.gif) , 直线ND的斜率 , 得kMD=kND,所以直线MN过D点; 因此,直线MN必过x轴上的点(1,0)。 | ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191022/20191022195002-19044.gif) |