已知圆C的方程为x2+y2=1,直线l1过定点A(3,0),且与圆C相切。(1)求直线l1的方程; (2)设圆C与x轴交于P、Q两点,M是圆C上异于P、Q的任意
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已知圆C的方程为x2+y2=1,直线l1过定点A(3,0),且与圆C相切。 (1)求直线l1的方程; (2)设圆C与x轴交于P、Q两点,M是圆C上异于P、Q的任意一点,过点A且与x轴垂直的直线为l2,直线PM交直线l2于点P′,直线QM交直线l2于点Q′,求证:以P′Q′为直径的圆C′总过定点,并求出定点坐标. |
答案
解:(1)∵直线l1过点A(3,0),且与圆C:x2+y2=1相切, 设直线l1的方程为y=k(x-3),即kx-y-3k=0, 则圆心O(0,0)到直线l1的距离为d==1,解得k=±, ∴直线l1的方程为y=±(x-3). (2)对于圆C:x2+y2=1,令y=0,则x=±1,即P(-1,0),Q(1,0), 又直线l2过点A且与x轴垂直, ∴直线l2的方程为x=3, 设M(s,t),则直线PM的方程为y=(x+1), 解方程组,得P′(3,),同理可得Q′(3,), ∴以P′Q′为直径的圆C′的方程为(x-3)(x-3)+(y-)(y-)=0, 又s2+t2=1, ∴整理得(x2+y2-6x+1)+y=0, 若圆C′经过定点,只需令y=0,从而有x2-6x+1=0,解得:x=3±2, ∴圆C′总经过定点,定点坐标为(3±2,0). |
举一反三
已知直线l过点P(5,10),且原点到它的距离为5,则直线l的方程为( )。 |
过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程是( )。 |
求经过直线l1:3x+4y-5=0与l2:2x-3y+8=0的交点M,且满足下列条件的直线方程: (Ⅰ)经过原点; (Ⅱ)与直线2x+y+5=0平行; (Ⅲ)与直线2x+y+5=0垂直. |
已知圆C:(x-1)2+y2=9内有一点P(2,2),过点P作直线l交圆C于A、B两点。 (Ⅰ)当l经过圆心C时,求直线l的方程; (Ⅱ)当弦AB被点P平分时,写出直线l的方程; (Ⅲ)当直线l的倾斜角为45°时,求弦AB的长。 |
方程y-ax-=0表示的直线可能是 |
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A、 B、 C、 D、 |
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