如图,函数f(x)=x+的定义域为(0,+∞).设点P是函数图象上任一点,过点P分别作直线y=x和y轴的垂线,垂足分别为M,N.(1)证明:|PM|·|PN|为
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如图,函数f(x)=x+的定义域为(0,+∞).设点P是函数图象上任一点,过点P分别作直线y=x和y轴的垂线,垂足分别为M,N.(1)证明:|PM|·|PN|为
题型:不详
难度:
来源:
如图,函数f(x)=x+
的定义域为(0,+∞).设点P是函数图象上任一点,过点P分别作直线y=x和y轴的垂线,垂足分别为M,N.
(1)证明:|PM|·|PN|为定值;
(2)O为坐标原点,求四边形OMPN面积的最小值.
答案
(1)见解析 (2)
+1
解析
解:(1)设P(x
0
,x
0
+
)(x
0
>0),
则|PN|=x
0
,|PM|=
=
,因此|PM|·|PN|=1.
(2)连接OP,直线PM的方程为y-x
0
-
=-(x-x
0
),
即y=-x+2x
0
+
,
解方程组
得x=y=x
0
+
,∴|OM|=
x
0
+
,
S
四边形OMPN
=S
△
NPO
+S
△
OPM
=
|PN|·|ON|+
|PM|·|OM|
=
x
0
(x
0
+
)+
(
x
0
+
)
=
+
(
+
)≥
+1.
当且仅当x
0
=
,即x
0
=1时等号成立,因此四边形OMPN面积的最小值为
+1.
举一反三
如图,在棱长为
的正方体
中,
为
的中点,
为
上任意一点,
为
上两点,且
的长为定值,则下面四个值中不是定值的是( )
A.点
到平面
的距离
B.直线
与平面
所成的角
C.三棱锥
的体积
D.
的面积
题型:不详
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若
,则
的最小值为
.
题型:不详
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|
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平行线
和
的距离是_______.
题型:不详
难度:
|
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