已知圆A:x2+y2-2x-2y-2=0.(1)若直线l:ax+by-4=0平分圆A的周长,求原点O到直线l的距离的最大值;(2)若圆B平分圆A的周长,圆心B在
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已知圆A:x2+y2-2x-2y-2=0.(1)若直线l:ax+by-4=0平分圆A的周长,求原点O到直线l的距离的最大值;(2)若圆B平分圆A的周长,圆心B在
题型:不详
难度:
来源:
已知圆A:x
2
+y
2
-2x-2y-2=0.
(1)若直线l:ax+by-4=0平分圆A的周长,求原点O到直线l的距离的最大值;
(2)若圆B平分圆A的周长,圆心B在直线y=2x上,求符合条件且半径最小的圆B的方程.
答案
(1)
(2)(x-
)
2
+(y-
)
2
=
解析
(1)圆A的方程即(x-1)
2
+(y-1)
2
=4,其圆心为A(1,1),半径为r=2.
由题意知直线l经过圆心A(1,1),所以a+b-4=0,得b=4-a.
原点O到直线l的距离d=
.
因为a
2
+b
2
=a
2
+(4-a)
2
=2(a-2)
2
+8,所以当a=2时,a
2
+b
2
取得最小值8.
故d的最大值为
=
.
(2)由题意知圆B与圆A的相交弦为圆A的一条直径,它经过圆心A.
设圆B的圆心为B(a,2a),半径为R.如图所示,在圆B中,
由垂径定理并结合图形可得:R
2
=2
2
+|AB|
2
=4+(a-1)
2
+(2a-1)
2
=5(a-
)
2
+
.
所以当a=
时,R
2
取得最小值
.
故符合条件且半径最小的圆B的方程为(x-
)
2
+(y-
)
2
=
.
举一反三
已知圆C:x
2
+(y-1)
2
=5,直线l:mx-y+1-m=0,且直线l与圆C交于A、B两点.
(1)若|AB|=
,求直线l的倾斜角;
(2)若点P(1,1)满足2
=
,求此时直线l的方程.
题型:不详
难度:
|
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直线ax+by+c=0与圆x
2
+y
2
=9相交于两点M、N,若c
2
=a
2
+b
2
,则
·
(O为坐标原点)等于( )
A.-7
B.-14
C.7
D.14
题型:不详
难度:
|
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已知两点A(0,-3),B(4,0),若点P是圆x
2
+y
2
-2y=0上的动点,则△ABP面积的最小值为( )
A.6
B.
C.8
D.
题型:不详
难度:
|
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已知圆
和圆
.
(1)判断圆
和圆
的位置关系;
(2)过圆
的圆心
作圆
的切线
,求切线
的方程;
(3)过圆
的圆心
作动直线
交圆
于A,B两点.试问:在以AB为直径的所有圆中,是否存在这样的圆
,使得圆
经过点
?若存在,求出圆
的方程;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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直线x-y+m=0与圆x
2
+y
2
-2x-1=0有两个不同的交点的一个充分不必要条件为( ).
A.m<1
B.-3<m<1
C.-4<m<2
D.0<m<1
题型:不详
难度:
|
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