(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的点均在C2:(x-5)2+y2=9外,且对C1上任意一点M,M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离
题型:不详难度:来源:
(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的点均在C2:(x-5)2+y2=9外,且对C1上任意一点M,M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值. (1)求曲线C1的方程; (2)设P(x0,y0)(y0≠±3)为圆C2外一点,过P作圆C2的两条切线,分别与曲线C1相交于 点A,B和C,D.证明:当P在直线x=﹣4上运动时,四点A,B,C,D的纵坐标之积为定值. |
答案
(1). (2)当P在直线上运动时,四点A,B,C,D的纵坐标之积为定值6400. |
解析
(1) 曲线上任意一点M到圆心的距离等于它到直线的距离,由抛物线的定义可知曲线C1为抛物线,此方程为. (2) 当点P在直线上运动时,设P的坐标为,又,则过P且与圆 相切的切线方程为.则 整理得 设过P所作的两条切线的斜率分别为,则是方程①的两个实根, 故 由得 设四点A,B,C,D的纵坐标分别为, 则同理由可得 这样可得,然后展开将代入化简即可得到定值. 由题设知,曲线上任意一点M到圆心的距离等于它到直线的距离,因此,曲线是以为焦点,直线为准线的抛物线,故其方程为. (2)当点P在直线上运动时,P的坐标为,又,则过P且与圆 相切得直线的斜率存在且不为0,每条切线都与抛物线有两个交点,切线方程为. 于是 整理得 ① 设过P所作的两条切线的斜率分别为,则是方程①的两个实根, 故 ② 由得 ③ 设四点A,B,C,D的纵坐标分别为,则是方程③的两个实根, 所以 ④ 同理可得 ⑤ 于是由②,④,⑤三式得
. 所以,当P在直线上运动时,四点A,B,C,D的纵坐标之积为定值6400. |
举一反三
直线与圆的位置关系是 ( )A.相切 | B.相交但直线不过圆心 | C.直线过圆心 | D.相离 |
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.若过点的直线与曲线有公共点,则直线的斜率最小值为 ( ) |
直线与圆相交于两点(其中是实数),且是直角三角形(是坐标原点),则点与点之间距离的最大值为 ( ) |
过点(0,1)的直线与x2+y2=4相交于A、B两点,则|AB|的最小值为________. |
(本小题满分12分) 已知圆过两点,且圆心在上. (1)求圆的方程; (2)设是直线上的动点,是圆的两条切线,为切点,求四边形面积的最小值. |
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