求过直线2x+y+4=0和圆x2+y2+2x-4y+1=0的交点，且满足下列条件之一的圆的方程. (1)过原点;(2)有最小面积.

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求过直线2x+y+4=0和圆x²+y²+2x-4y+1=0的交点，且满足下列条件之一的圆的方程.
(1)过原点;
(2)有最小面积.

答案

(1)过原点圆的方程为.         
(2)有最小面积 圆的方程为.

解析

设所求圆的方程为
x²+y²+2x-4y+1+λ(2x+y+4)=0,
即x²+y²+2(1+λ)x+(λ-4)y+(1+4λ)=0.
(1)因为此圆过原点,
∴1+4λ=0,.
故所求圆的方程为.
(2)当半径最小时,圆面积也最小,
对圆的方程左边配方得
,
∴当时,此圆面积最小,
故满足条件的圆的方程为.