已知x，y∈R，2x+3y=13，则x2+y2+1的最小值为______．
题型：不详难度：来源：
| 已知x，y∈R，2x+3y=13，则x2+y2+1的最小值为______． |
答案
解法1：根据解析几何的性质可知，2x+3y=13表示直线的方程，
则x2+y2表示直线上的点到原点的距离的平方，
由于原点到直线2x+3y=13距离为直线的点到原点的最短距离，
故x2+y2的最小值为（ ）2=13，
则x2+y2+1的最小值为14；
解法2：因为2x+3y=13，
所以利用柯西不等式得
（x2+y2）（22+32）≥（2x+3y）2，
即13（x2+y2）≥132，
即x2+y2≥13，
当且仅当 即 时取等号，
即x2+y2的最小值为13．
则x2+y2+1的最小值为14．
故答案为：14 |
举一反三
| 已知A（1，2），B（3，4），直线l1：x=0，l2：y=0和l3：x+3y-1=0、设Pi是li（i=1，2，3）上与A、B两点距离平方和最小的点，则△P1P2P3的面积是______． |
| 坐标原点到直线4x+3y-15=0的距离为 ______． |
已知点M到双曲线-=1的左、右焦点的距离之比为2：3．
（1）求点M的轨迹方程；
（2）若点M的轨迹上有且仅有三个点到直线y=x+m的距离为4，求实数m的值． |
已知定点F（，0），（p＞0）定直线l：x=，动点M（x，y）到定点的距离等于到定直线l的距离．
（Ⅰ）求动点M的轨迹方程；
（Ⅱ）动点M的轨迹上的点到直线3x+4y+12=0的距离的最小值为1，求p的值． |
（选做题）在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（B）（选修4-2：矩阵与变换）
二阶矩阵M有特征值λ=8，其对应的一个特征向量e=，并且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成点（-2，4），求矩阵M2．
（C）（选修4-4：坐标系与参数方程）
已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3，直线l的参数方程为（t为参数，t∈R）．试在曲线C上一点M，使它到直线l的距离最大． |
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