两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(-3,-1),并且各自绕着A,B旋转,如果两条平行直线间的距离为d.求:(1)d的变化范围;(2)当d取最大值时两条
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两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(-3,-1),并且各自绕着A,B旋转,如果两条平行直线间的距离为d. 求: (1)d的变化范围; (2)当d取最大值时两条直线的方程. |
答案
(1)方法一:①当两条直线的斜率不存在时,即两直线分别为x=6和x=-3,则它们之间的距离为9.…(2分) ②当两条直线的斜率存在时,设这两条直线方程为 l1:y-2=k(x-6),l2:y+1=k(x+3), 即l1:kx-y-6k+2=0,l2:kx-y+3k-1=0,…(4分) ∴d==. 即(81-d2)k2-54k+9-d2=0. ∵k∈R,且d≠9,d>0, ∴△=(-54)2-4(81-d2)(9-d2)≥0,即0<d≤3且d≠9.…(9分) 综合①②可知,所求d的变化范围为(0,3].
方法二:如图所示
,显然有0<d≤|AB|. 而|AB|==3. 故所求的d的变化范围为(0,3]. (2)由图可知,当d取最大值时,两直线垂直于AB. 而kAB==, ∴所求直线的斜率为-3.故所求的直线方程分别为 y-2=-3(x-6),y+1=-3(x+3),即3x+y-20=0和3x+y+10=0-…(13分) |
举一反三
求两条平行直线3x-4y-11=0与6x-8y+4=0的距离是( ) |
已知直线3x+4y-3=0与直线6x+my+14=0平行,则它们之间的距离是______. |
两条平行直线3x+4y-12=0与ax+8y+11=0之间的距离为( ) |
若两条平行线L1:x-y+1=0,与L2:3x+ay-c=0 (c>0)之间的距离为,则等于( ) |
两条平行线l1:3x+4y-2=0,l2:9x+12y-10=0间的距离等于( ) |
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