已知点，圆:，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点.(1)求的轨迹方程；(2)当时，求的方程及的面积

题型：不详难度：来源：

已知点，圆:，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点.
(1)求的轨迹方程；
(2)当时，求的方程及的面积

答案

（1）;（2）的方程为; 的面积为.

解析

试题分析：（1）先由圆的一般方程与标准方程的转化可将圆C的方程可化为，所以圆心为，半径为4，根据求曲线方程的方法可设，由向量的知识和几何关系：，运用向量数量积运算可得方程：;（2）由第（1）中所求可知M的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，加之题中条件，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而，不难得出的方程为;结合面积公式可求又的面积为.
试题解析：（1）圆C的方程可化为，所以圆心为，半径为4，
设，则，，
由题设知，故，即.
由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是.
（2）由（1）可知M的轨迹是以点为圆心，为半径的圆.
由于，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而.
因为ON的斜率为3，所以的斜率为，故的方程为.
又，O到的距离为，，所以的面积为.