已知圆O的方程为x2+y2=1和点A(a,0),设圆O与x轴交于P、Q两点,M是圆OO上异于P、Q的任意一点,过点A(a,0)且与x轴垂直的直线为l,直线PM交

已知圆O的方程为x2+y2=1和点A(a,0),设圆O与x轴交于P、Q两点,M是圆OO上异于P、Q的任意一点,过点A(a,0)且与x轴垂直的直线为l,直线PM交

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已知圆O的方程为x2+y2=1和点A(a,0),设圆O与x轴交于P、Q两点,M是圆OO上异于P、Q的任意一点,过点A(a,0)且与x轴垂直的直线为l,直线PM交直线l于点E,直线QM交直线l于点F.
(1)若a=3,直线l1过点A(3,0),且与圆O相切,求直线l1的方程;
(2)证明:若a=3,则以EF为直径的圆C总过定点,并求出定点坐标;
(3)若以EF为直径的圆C过定点,探求a的取值范围.
答案
(1)∵直线l1过点A(3,0),且与圆C:x2+y2=1相切,
设直线l1的方程为y=k(x-3),即kx-y-3k=0,
则圆心O(0,0)到直线l1的距离为d=
|3k|


k2+1
=1
,解得k=±


2
4

∴直线l1的方程为y=±


2
4
(x-3),即y=±


2
4
(x-3).
(2)对于圆方程x2+y2=1,令y=0,得x=±1,即P(-1,0),Q(1,0).
又直线l2过点a且与x轴垂直,∴直线l2方程为x=3,设M(s,t),则直线PM方程为y=
t
s+1
(x+1).
解方程组





x=3
y=
t
s+1
(x+1)
,得P′(3,
4t
s+1
)
同理可得,Q′(3,
2t
s-1
)

∴以P′Q′为直径的圆C′的方程为(x-3)(x-3)+(y-
4t
s+1
)(y-
2t
s-1
)=0,
又s2+t2=1,∴整理得(x2+y2-6x+1)+
6s-2
t
y=0

若圆C′经过定点,只需令y=0,从而有x2-6x+1=0,解得x=3±2


2

∴圆C′总经过定点坐标为(3±2


2
,0).
(3)以EF为直径的圆C过定点,它的逆命题:设圆O与x轴交于P、Q两点,M是圆O上异于P、Q的任意一点,
过点M(m,0)且与x轴垂直的直线为l2,直线PM交直线l2于点P′,
直线QM交直线l2于点Q′,以P′Q′为直径的圆C总过定点,则m>1或者m<-1.
举一反三
从原点向圆x2+y2-8y+12=0引两条切线,则两条切线所夹的劣弧的长是(  )
A.
π
3
B.
3
C.
3
D.π
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过点A(a,a)可作圆x2+y2-2ax+a2+2a-3=0的两条切线,则实数a的取值范围为(  )
A.a<-3或1<a<
3
2
B.1<a<
3
2
C.a<-3D.-3<a<1或a>
3
2
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设椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左焦点为F,上顶点为A,过点A且与AF垂直的光线经椭圆的右准线反射,反射光线与直线AF平行.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设入射光线与右准线的交点为B,过A,B,F三点的圆恰好与直线3x一y+3=0相切,求椭圆的方程.
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直线ax+y+1=0与圆(x-1)2+y2=1相切,则a的值为(  )
A.0B.1C.2D.-1
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经过点(1,1)且与圆x2+y2=2相切的直线的方程是______.
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