设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为A,过点A且与AF垂直的光线经椭圆的右准线反射,反射光线与直线AF平行.(1)求椭圆的离心率;(
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设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为A,过点A且与AF垂直的光线经椭圆的右准线反射,反射光线与直线AF平行.(1)求椭圆的离心率;(
题型:不详
难度:
来源:
设椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的左焦点为F,上顶点为A,过点A且与AF垂直的光线经椭圆的右准线反射,反射光线与直线AF平行.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设入射光线与右准线的交点为B,过A,B,F三点的圆恰好与直线3x一y+3=0相切,求椭圆的方程.
答案
(1)因为入射光线与反射光线垂直,
所以入射光线与准线所成的角为45°,…(2分)
即∠FAO=45°,
所以b=c,
所以椭圆的离心率为
2
2
. …(6分)
(2)由(1)知
b=c,a=
2
c
,
可得A(0,c),B(2c,-c),又AF⊥AB,
所以过A,B,F三点的圆的圆心坐标为
(
c
2
,-
c
2
)
,
半径
r=
1
2
FB=
10
2
c
,…(8分)
因为过A,B,F三点的圆恰好与直线3x-y+3=0相切,…(10分)
所以圆心到直线3x-y+3=0的距离等于半径r
,即
|
3
2
c+
1
2
c+3|
10
=
10
2
c
,
得c=1,…(14分)
所以
b=1,a=
2
,
所以椭圆的方程为
x
2
2
+
y
2
=1
. …(16分)
举一反三
直线ax+y+1=0与圆(x-1)
2
+y
2
=1相切,则a的值为( )
A.0
B.1
C.2
D.-1
题型:不详
难度:
|
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经过点(1,1)且与圆x
2
+y
2
=2相切的直线的方程是______.
题型:不详
难度:
|
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过点(-1,1)且与圆x
2
+y
2
-4x+2y-4=0相切的直线的方程为( )
A.5x-12y+17=0
B.5x-12y+17=0或5x+12y+17=0
C.x=-1或5x+12y+17=0
D.x=-1或5x-12y+17=0
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
C:
x
2
16
+
y
2
4
=1
,过点(2,0)作圆x
2
+y
2
=1的切线l交椭圆C于A,B两点.
(1)求切线l的方程;
(2)求弦AB的长.
题型:不详
难度:
|
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若从P(x,3)作圆(x+2)
2
+(y+2)
2
=1的切线,切线长为
2
,则x的值为( )
A.-1
B.-2
C.-3
D.0
题型:不详
难度:
|
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