已知圆O:x2+y2=2,直线l:y=kx-2.(1)若直线l与圆O交于不同的两点A,B,当∠AOB=π2时,求k的值.(2)若k=12,P是直线l上的动点,过

已知圆O:x2+y2=2,直线l:y=kx-2.(1)若直线l与圆O交于不同的两点A,B,当∠AOB=π2时,求k的值.(2)若k=12,P是直线l上的动点,过

题型:不详难度:来源:
已知圆O:x2+y2=2,直线l:y=kx-2.
(1)若直线l与圆O交于不同的两点A,B,当∠AOB=
π
2
时,求k的值.
(2)若k=
1
2
,P是直线l上的动点,过P作圆O的两条切线PC、PD,切点为C、D,探究:直线CD是否过定点;
(3)若EF、GH为圆O:x2+y2=2的两条相互垂直的弦,垂足为M(1,


2
2
),求四边形EGFH的面积的最大值.
答案
(1)∵∠AOB=
π
2
,∴点O到l的距离d=


2
2
r
…(2分)
2


k2+1
=


2
2


2

k=±


3
…(4分)
(2)由题意可知:O、P、C、D四点共圆且在以OP为直径的圆上,
P(t,
1
2
t-2)
,其方程为:x(x-t)+y(y-
1
2
t+2)=0

x2-tx+y2-(
1
2
t-2)y=0

又C、D在圆O:x2+y2=2上
lCD:tx+(
1
2
t-2)y-2=0

(x+
y
2
)t-2y-2=0
…(7分)





x+
y
2
=0
2y+2=0
,得





x=
1
2
y=-1

∴直线CD过定点(
1
2
,-1)
…(9分)
(3)设圆心O到直线EF、GH的距离分别为d1,d2
d12+d22=|OM|2=
3
2
…(11分)
|EF|=2


r2-
d21
=2


12-
d21
|GH|=2


r2-
d22
=2


2-
d22

S=
1
2
|EF||GH|=2


(2-
d21
)(2-
d22
)
≤2-
d21
+2-
d22
=4-
3
2
=
5
2

当且仅当2-
d21
=2-
d22
d1=d2=


3
2
时,取“=”
∴四边形EGFH的面积的最大值为
5
2
.…(14分)
举一反三
已知直线l过点O(0,0)和点P(2+


3
cosα,


3
sinα),则直线l的斜率的最大值为(  )
A.
1
2
B.


3
3
C.


3
2
D.


3
题型:不详难度:| 查看答案
已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0.
(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等,求此切线的方程;
(2)从圆C外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求使得|PM|取得最小值的点P的坐标.
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过原点且倾斜角为60°的直线与圆:x2+y2-4y=0的位置关系是(  )
A.相切B.相交C.相离D.无法确定
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已知直线ax+by+c=0(abc≠0)与圆x2+y2=1相切,若△ABC的三边长分别为|a|,|b|,|c|,则该三角形为______(判断三角形的形状).
题型:不详难度:| 查看答案
将直线2x-y+λ=0沿x轴向左平移1个单位,所得直线与圆相切,则实数x2+y2+2x-4y=0的值为______.
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