已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m（1）m为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）求直线被椭圆截得的最长弦所在的直线方程，并求弦长的最大值．

题型：不详难度：来源：

已知椭圆4x²+y²=1及直线y=x+m
（1）m为何值时，直线与椭圆有公共点？
（2）求直线被椭圆截得的最长弦所在的直线方程，并求弦长的最大值．

答案

（1）联立得：

y=x+m 4x2+y2=1

，
消去y得：5x²+2mx+m²-1=0，
由△=-16m²+20≥0，得-

5

2

≤m≤

5

2

，
则m的范围为[-

5

2

，

5

2

]；
（2）设直线与椭圆的公共点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=

2

(x1+x2)2-4x1x2

=

2 2

5

5-4m2

，
∵m∈[-

5

2

，

5

2

]，
∴当m=0时，|AB|_max=

2 10

5

，此时直线l：y=x．