已知AC,BD为圆O:x2+y2=4的两条相互垂直的弦,垂足为M(1,2),求四边形ABCD的面积的最大值.

已知AC,BD为圆O:x2+y2=4的两条相互垂直的弦,垂足为M(1,2),求四边形ABCD的面积的最大值.

题型:不详难度:来源:
已知AC,BD为圆O:x2+y2=4的两条相互垂直的弦,垂足为M(1,


2
)
,求四边形ABCD的面积的最大值.
答案
设d1,d2分别是O到AC,BD的距离,则d12+d22=12+(


2
)2=3

故S四边形=S△CAD+S△CAB=
1
2
•AC•BD=
1
2
•2


22-d12
•2


22-d22
=2


(4-d12)(4-d22)

=2


16-4(d12+d22)+(d1d2)2
=2


4+(d1d2)2
≤2


4+(
d12+d22
2
)
2
=2


4+(
3
2
)
2
=5

当且仅当d1=d2时上式取等号,即d1=d2=


6
2
时上式取等号.
故四边形ABCD的面积的最大值为 5.
举一反三
直线y=kx+1与圆x2+y2-2y=0的位置关系是(  )
A.相交B.相切
C.相离D.取决于k的值
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直线


2
x-y=0与圆(x-1)2+y2=2的位置关系是(  )
A.相交不过圆心B.相交过圆心
C.相切D.相离
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已知圆(x-3)2+(y-4)2=4和直线kx-y-4k+3=0,当圆被直线截得的弦最短时,此时k等于______.
题型:不详难度:| 查看答案
直线Ax+By=0与圆x2+y2+Ax+By=0的位置关系是______.
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【选做题】在A,B,C,D四小题中只能选做2题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤.
21-1.(选修4-2:矩阵与变换)
设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍,纵坐标伸长到3倍的伸压变换.
(1)求矩阵M的特征值及相应的特征向量;
(2)求逆矩阵M-1以及椭圆
x2
4
+
y2
9
=1在M-1的作用下的新曲线的方程.
21-2.(选修4-4:参数方程)
以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴.已知点P的直角坐标为(1,-5),点M的极坐标为(4,
π
2
),若直线l过点P,且倾斜角为 
π
3
,圆C以M为圆心、4为半径.
(1)求直线l关于t的参数方程和圆C的极坐标方程;
(2)试判定直线l和圆C的位置关系.
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