在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:(x-3)2+(y+2)2=4,圆C2:(x+m)2+(y+m+5)2=2m2+8m+10(m∈R,且m≠-3).(1)设
题型:不详难度:来源:
在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:(x-3)2+(y+2)2=4,圆C2:(x+m)2+(y+m+5)2=2m2+8m+10(m∈R,且m≠-3). (1)设P为坐标轴上的点,满足:过点P分别作圆C1与圆C2的一条切线,切点分别为T1、T2,使得PT1=PT2,试求出所有满足条件的点P的坐标; (2)若斜率为正数的直线l平分圆C1,求证:直线l与圆C2总相交. |
答案
(1)由题设条件,圆C1的圆心坐标(3,-2),半径为2,圆C2的圆心坐标(-m,-m-5),半径为 ∵过点P分别作圆C1与圆C2的一条切线,切点分别为T1、T2,使得PT1=PT2, ∴PC12-4=PC22-(2m2+8m+10) 若点P在X轴上,设P(x,0),将P(x,0)及圆心的坐标代入整理得(2m-6)x=-2m+6,故x=-1, 即P(-1,0) 若点P在Y轴上,可设P(0,y),同理解得y=-1,即P(0,-1) 故满足条件的点P的坐标为(-1,0)或(0,-1) (2)若斜率为正数的直线l平分圆C1,可得此直线过定点(3,-2), 设此直线的方程为y+2=k(x-3),整理得kx-y-3k-2=0 圆C2的圆心到此直线的距离为d== 由于d2-r2=-(2m2+8m+10) =(1-2k+k2)(m+3) 2-(1+k2)(2m 2+8m+10) | 1+k2 |
=-m2-2m-1-(m+3)2 =-(m+1)2-(m+3)2<0 (∵k>0) 可得在d<r,即直线l与圆C2总相交 |
举一反三
若直线ax+by+1=0与圆x2+y2=1相离,则点P(a,b)的位置是( )A.在圆上 | B.在圆外 | C.在圆内 | D.以上都有可能 | 直线(t为参数)与圆(θ为参数)的位置关系是( )A.相离 | B.相切 | C.过圆心 | D.相交不过圆心 | 圆C:(θ为参数)的半径为 ______,若圆C与直线x-y+m=0相切,则m=______. | 曲线(θ为参数)与直线y=x+a有两个公共点,则实数a的取值范围是 ______. | 过点A(11,2)作圆x2+y2+2x-4y-164=0的弦,其中弦长为整数的共有( )A.16条 | B.17条 | C.32条 | D.34条 |
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