已知圆M的方程为x2+(y-2)2=1,直线l的方程为x-2y=0,点P在直线l上,过点P作圆M的切线PA,PB,切点为A,B。(1)若∠APB=60°,求线段
题型:江苏期中题难度:来源:
已知圆M的方程为x2+(y-2)2=1,直线l的方程为x-2y=0,点P在直线l上,过点P作圆M的切线PA,PB,切点为A,B。 (1)若∠APB=60°,求线段AB的长; (2)当∠APB最大时,求点P的坐标; (3)求证:经过A、P、M三点的圆必过定点,并求出所有定点的坐标。 |
答案
解:(1)由题意知,△PAB为等边三角形,所以线段AB的长就是切线长PA, 法一:∵∠APB=60°,由题可知MP=2, ∴; 法二:∵∠APB=60°, ∴等腰三角形MAB中,∠AMB=120° 而半径MA=1, ∴; (2)记∠APB=2θ,则在直角三角形MAP中,有, 当∠APB最大时,有MP最小,此时MP垂直于直线直线l:x-2y=0, 设P(2m,m), ∵M(0,2), ∴, ∴, ∴点P坐标为; (3)设P(2m,m),MP的中点,因为PA是圆M的切线, 所以经过A,P,M三点的圆是以Q为圆心,以MQ为半径的圆, 故其方程为: 化简得:, 此式是关于m的恒等式, 故解得或, 所以经过A,P,M三点的圆必过定点(0,2)或(1,1)。 |
举一反三
设直线3x+4y-5=0与圆C1:x2+y2=4交于A,B两点,若圆C2的圆心在线段AB上,且圆C2与圆C1相切,切点在圆C1的优弧上,则圆C2的半径的最小值是( )。 |
M(x0,y0)为圆x2+y2=a2(a>0)内不为圆心的一点,则直线x0x+y0y=a2与该圆的位置关系 |
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A.相切 B.相交 C.相离 D.相切或相交 |
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