已知某椭圆的焦点是F1(-4,0)、F2(4,0),过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B,且|F1B|+|F2B|=10,椭圆上不同的两点A(x1,y
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已知某椭圆的焦点是F1(-4,0)、F2(4,0),过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B,且|F1B|+|F2B|=10,椭圆上不同的两点A(x1,y
题型:不详
难度:
来源:
已知某椭圆的焦点是F
1
(-4,0)、F
2
(4,0),过点F
2
并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B,且|F
1
B|+|F
2
B|=10,椭圆上不同的两点A(x
1
,y
1
)、C(x
2
,y
2
)满足条件:|F
2
A|、|F
2
B|、|F
2
C|成等差数列.
(Ⅰ)求该椭圆的方程;
(Ⅱ)求弦AC中点的横坐标.
答案
(1)由椭圆定义及条件,可得
2a=|F
1
B|+|F
2
B|=10,得a=5.
又∵c=4,∴b=
a
2
-
b
2
=3.
因此可得该椭圆方程为
x
2
25
+
y
2
9
=1
.
(2)∵点B(4,y
B
)在椭圆上,
∴将x=4,代入椭圆方程求得y
B
=
9
5
,可得|F
2
B|=|y
B
|=
9
5
.
∵椭圆右准线方程为x=
a
2
c
,即x=
25
4
,离心率e=
c
a
=
4
5
.
根据圆锥曲线统一定义,得
|F
2
A|=
4
5
(
25
4
-x
1
),|F
2
C|=
4
5
(
25
4
-x
2
).
由|F
2
A|、|F
2
B|、|F
2
C|成等差数列,得2|F
2
B|=|F
2
A|+|F
2
C|
即
4
5
(
25
4
-x
1
)+
4
5
(
25
4
-x
2
)=2×
9
5
,由此解得x
1
+x
2
=8.
设弦AC的中点为P(x
0
,y
0
),
可得中点横坐标为则x
0
=
1
2
(x
1
+x
2
)=4.
举一反三
如图,设抛物线c
1
:y
2
=4mx(m>0)的准线与x轴交于F
1
,焦点为F
2
,以F
1
、F
2
为焦点,离心率e=
1
2
的椭圆c
2
与抛物线c
1
在x轴上方的一个交点为P.
(1)当m=1时,求椭圆的方程;
(2)在(1)的条件下,直线l经过椭圆c
2
的右焦点F
2
,与抛物线c
1
交于A
1
、A
2
,如果以线段A
1
A
2
为直径作圆,试判断点P与圆的位置关系,并说明理由;
(3)是否存在实数m,使得△PF
1
F
2
的边长是连续的自然数,若存在,求出这样的实数m;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
x
2
10-4
+
y
2
4-2
=1
,焦点在y轴上,若焦距等于4,则实数4=______.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆上点P
(3
2
,4)
到两焦点的距离之和是12,则椭圆的标准方程是______.
题型:不详
难度:
|
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设F
1
,F
2
分别是椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的左右焦点,
(1)设椭圆C上的点(
3
,
3
2
)到F
1
,F
2
两点距离之和等于4,写出椭圆C的方程和焦点坐标
(2)设K是(1)中所得椭圆上的动点,求线段KF
1
的中点B的轨迹方程
(3)设点P是椭圆C上的任意一点,过原点的直线L与椭圆相交于M,N两点,当直线PM,PN的斜率都存在,并记为k
PM
,K
PN
试探究k
PM
•K
PN
的值是否与点P及直线L有关,并证明你的结论.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0),过点
A
-a,0
,
B
0,b
的直线倾斜角为
π
6
,原点到该直线的距离为
3
2
,求椭圆的方程.
题型:不详
难度:
|
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