已知某椭圆的焦点是F1(-4,0)、F2(4,0),过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B,且|F1B|+|F2B|=10,椭圆上不同的两点A(x1,y

已知某椭圆的焦点是F1(-4,0)、F2(4,0),过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B,且|F1B|+|F2B|=10,椭圆上不同的两点A(x1,y

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已知某椭圆的焦点是F1(-4,0)、F2(4,0),过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B,且|F1B|+|F2B|=10,椭圆上不同的两点A(x1,y1)、C(x2,y2)满足条件:|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列.
(Ⅰ)求该椭圆的方程;
(Ⅱ)求弦AC中点的横坐标.
答案
(1)由椭圆定义及条件,可得
2a=|F1B|+|F2B|=10,得a=5.
又∵c=4,∴b=


a2-b2
=3.
因此可得该椭圆方程为
x2
25
+
y2
9
=1

(2)∵点B(4,yB)在椭圆上,
∴将x=4,代入椭圆方程求得yB=
9
5
,可得|F2B|=|yB|=
9
5

∵椭圆右准线方程为x=
a2
c
,即x=
25
4
,离心率e=
c
a
=
4
5

根据圆锥曲线统一定义,得
|F2A|=
4
5
25
4
-x1),|F2C|=
4
5
25
4
-x2).
由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列,得2|F2B|=|F2A|+|F2C|
4
5
25
4
-x1)+
4
5
25
4
-x2)=2×
9
5
,由此解得x1+x2=8.
设弦AC的中点为P(x0,y0),
可得中点横坐标为则x0=
1
2
(x1+x2)=4.
举一反三
如图,设抛物线c1:y2=4mx(m>0)的准线与x轴交于F1,焦点为F2,以F1、F2为焦点,离心率e=
1
2
的椭圆c2与抛物线c1在x轴上方的一个交点为P.
(1)当m=1时,求椭圆的方程;
(2)在(1)的条件下,直线l经过椭圆c2的右焦点F2,与抛物线c1交于A1、A2,如果以线段A1A2为直径作圆,试判断点P与圆的位置关系,并说明理由;
(3)是否存在实数m,使得△PF1F2的边长是连续的自然数,若存在,求出这样的实数m;若不存在,请说明理由.
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已知椭圆
x2
10-4
+
y2
4-2
=1
,焦点在y轴上,若焦距等于4,则实数4=______.
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已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆上点P(3


2
,4)
到两焦点的距离之和是12,则椭圆的标准方程是______.
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设F1,F2分别是椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左右焦点,
(1)设椭圆C上的点(


3


3
2
)到F1,F2两点距离之和等于4,写出椭圆C的方程和焦点坐标
(2)设K是(1)中所得椭圆上的动点,求线段KF1的中点B的轨迹方程
(3)设点P是椭圆C上的任意一点,过原点的直线L与椭圆相交于M,N两点,当直线PM,PN的斜率都存在,并记为kPM,KPN试探究kPM•KPN的值是否与点P及直线L有关,并证明你的结论.
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已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),过点A



-a,0



B



0,b



的直线倾斜角为
π
6
,原点到该直线的距离为


3
2
,求椭圆的方程.
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