如图,F1,F2是离心率为22的椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,直线l:x=-12将线段F1F2分成两段,其长度之比为1:3.设A,B
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如图,F1,F2是离心率为22的椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,直线l:x=-12将线段F1F2分成两段,其长度之比为1:3.设A,B
题型:不详
难度:
来源:
如图,F
1
,F
2
是离心率为
2
2
的椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)的左、右焦点,直线l:x=-
1
2
将线段F
1
F
2
分成两段,其长度之比为1:3.设A,B是C上的两个动点,线段AB的中垂线与C交于P,Q两点,线段AB的中点M在直线l上.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)求
F
2
P
•
F
2
Q
的取值范围.
答案
(Ⅰ)设F
2
(c,0),则
c-
1
2
c+
1
2
=
1
3
,所以c=1.
因为离心率e=
2
2
,所以a=
2
,所以b=1
所以椭圆C的方程为
x
2
2
+
y
2
=1
.…(6分)
(Ⅱ)当直线AB垂直于x轴时,直线AB方程为x=-
1
2
,此时P(
-
2
,0)、Q(
2
,0),
F
2
P
•
F
2
Q
=-1
.
当直线AB不垂直于x轴时,设直线AB的斜率为k,M(-
1
2
,m)(m≠0),A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
).
由
x
1
2
2
+
y
1
2
=1
x
2
2
2
+
y
2
2
=1
得(x
1
+x
2
)+2(y
1
+y
2
)
•
y
1
-
y
2
x
1
-
x
2
=0,
则-1+4mk=0,∴k=
1
4m
.
此时,直线PQ斜率为k
1
=-4m,PQ的直线方程为
y-m=-4m(x+
1
2
)
,即y=-4mx-m.
联立
y=-4mx-m
x
2
2
+
y
2
=1
消去y,整理得(32m
2
+1)x
2
+16m
2
x+2m
2
-2=0.
所以
x
1
+
x
2
=-
16
m
2
32
m
2
+1
,
x
1
x
2
=
2
m
2
-2
32
m
2
+1
.
于是
F
2
P
•
F
2
Q
=(x
1
-1)(x
2
-1)+y
1
y
2
=x
1
x
2
-(x
1
+x
2
)+1+(4mx
1
+m)(4mx
2
+m)
=
(1+16
m
2
)
x
1
x
2
+(4
m
2
-1)(
x
1
+
x
2
)+1+
m
2
=
(1+16
m
2
)(2
m
2
-2)
32
m
2
+1
+
(4
m
2
-1)(-16
m
2
)
32
m
2
+1
+1+
m
2
=
19
m
2
-1
32
m
2
+1
.
令t=1+32m
2
,1<t<29,则
F
2
P
•
F
2
Q
=
19
32
-
51
32t
.
又1<t<29,所以
-1<
F
2
P
•
F
2
Q
<
125
232
.
综上,
F
2
P
•
F
2
Q
的取值范围为[-1,
125
232
).…(15分)
举一反三
平面内已知两点A(0,2)、B(0,-2),若动点P满足|PA|+|PB|=4,则点P的轨迹是( )
A.椭圆
B.双曲线
C.抛物线
D.线段
题型:不详
难度:
|
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曲线
与曲线
(k>-16)的( )
A.长轴长相等
B.短轴长相等
C.离心率相等
D.焦距相等
题型:不详
难度:
|
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如果椭圆的两焦点为F
1
(-1,0)和F
2
(1,0),P是椭圆上的一点,且|PF
1
|,|F
1
F
2
|,|PF
2
|成等差数列,那么椭圆的方程是______.
题型:不详
难度:
|
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求适合下列条件的曲线的标准方程:
(1)a=3b,经过点M(3,0)的椭圆;
(2)
a=2
5
,经过点N(2,-5),焦点在y轴上的双曲线.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆C的中心在原点,离心率等于
2
3
,右焦点F是圆(x-1)
2
+y
2
=1的圆心,过椭圆上位于y轴左侧的一动点P作该圆的两条切线分别交y轴于M、N两点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)求线段MN的长的最大值,并求出此时点P的坐标.
题型:不详
难度:
|
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