已知椭圆C的中心在原点,离心率等于23,右焦点F是圆(x-1)2+y2=1的圆心,过椭圆上位于y轴左侧的一动点P作该圆的两条切线分别交y轴于M、N两点.(Ⅰ)求

已知椭圆C的中心在原点,离心率等于23,右焦点F是圆(x-1)2+y2=1的圆心,过椭圆上位于y轴左侧的一动点P作该圆的两条切线分别交y轴于M、N两点.(Ⅰ)求

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已知椭圆C的中心在原点,离心率等于
2
3
,右焦点F是圆(x-1)2+y2=1的圆心,过椭圆上位于y轴左侧的一动点P作该圆的两条切线分别交y轴于M、N两点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)求线段MN的长的最大值,并求出此时点P的坐标.
答案
(I)设椭圆C的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)
∵椭圆C的右焦点F是圆(x-1)2+y2=1的圆心F(1,0),
∴c=1,结合离心率e=
c
a
=
2
3
,得a=
3
2

因此,b2=a2-c2=
5
4
,得椭圆C的方程为
x2
9
4
+
y2
5
4
=1

(II)设P(x0,y0),M(0,m),N(0,n),
可得直线PM的方程:y-m=
y0-m
x0
x,
化简得(y0-m)x-x0y+x0m=0.
又圆心(1,0)到直线PM的距离为1,
|y0-m+x0m|


(y0-m)2+x02
=1,
平方化简得(y0-m)2+x02=(y0-m)2+2x0m(y0-m)+x02m2
整理可得(x0-2)m2+2y0m-x0=0,同理可得(x0-2)n2+2y0n-x0=0.
因此,m、n是方程(x0-2)t2+2y0t-x0=0的两个不相等的实数根
∴m+n=
-2y0
x0-2
,mn=
-x0
x0-2

∴|MN|=|m-n|=


(m+n)2-4mn
=


4x02+4y02-8x0
(x0-2)2

∵P(x0,y0)是椭圆
x2
9
4
+
y2
5
4
=1
上的点,
x02
9
4
+
y02
5
4
=1
,可得y02=
5
4
(1-
x02
9
4
)
=
5
4
-
5
9
x02
因此,|MN|=


4x02+(5-
20
9
x02)-8x0
(x0-2)2
=


16
9
x02-8x0+5
(x0-2)2

记F(x0)=
16
9
x02-8x0+5
(x0-2)2
,得F"(x)=
8
9
x0+6
(x0-2)3

∵椭圆上动点P位于y轴左侧,可得x0∈[-
3
2
,0),而-
3
2
≤x0<0时F"(x)=
8
9
x0+6
(x0-2)3
<0
∴F(x0)是上的减函数,可得F(x0)的最大值为F(-
3
2
)=
12
7
,此时|MN|=
2


21
7

因此线段MN的长的最大值为
2


21
7
,出此时点P的坐标为(-
3
2
,0).
举一反三
已知焦点在x轴上的椭圆,长轴长为4,右焦点到右顶点的距离为1,则椭圆的标准方程为(  )
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A.=1B.=1C.=1D.=1
已知某椭圆的焦点是F1(-4,0)、F2(4,0),过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B,且|F1B|+|F2B|=10,椭圆上不同的两点A(x1,y1)、C(x2,y2)满足条件:|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列.
(Ⅰ)求该椭圆的方程;
(Ⅱ)求弦AC中点的横坐标.
如图,设抛物线c1:y2=4mx(m>0)的准线与x轴交于F1,焦点为F2,以F1、F2为焦点,离心率e=
1
2
的椭圆c2与抛物线c1在x轴上方的一个交点为P.
(1)当m=1时,求椭圆的方程;
(2)在(1)的条件下,直线l经过椭圆c2的右焦点F2,与抛物线c1交于A1、A2,如果以线段A1A2为直径作圆,试判断点P与圆的位置关系,并说明理由;
(3)是否存在实数m,使得△PF1F2的边长是连续的自然数,若存在,求出这样的实数m;若不存在,请说明理由.
已知椭圆
x2
10-4
+
y2
4-2
=1
,焦点在y轴上,若焦距等于4,则实数4=______.
已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆上点P(3


2
,4)
到两焦点的距离之和是12,则椭圆的标准方程是______.