如图,F是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点,A、B是椭圆的两个顶点,椭圆的离心率为12,点C在x轴上,BC⊥BF,由B、C、F三点确定的圆M恰
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如图,F是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点,A、B是椭圆的两个顶点,椭圆的离心率为12,点C在x轴上,BC⊥BF,由B、C、F三点确定的圆M恰
题型:不详
难度:
来源:
如图,F是椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的一个焦点,A、B是椭圆的两个顶点,椭圆的离心率为
1
2
,点C在x轴上,BC⊥BF,由B、C、F三点确定的圆M恰好与直线
x+
3
y+3=0
相切.
(I)求椭圆的方程;
(II)过F作一条与两坐标轴都不垂直的直线l交椭圆于P、Q两点,若在x轴上存在一点N(x
0
,0),使得直线NP与直线NQ关于x轴对称,求x
0
的值.
答案
(I)由题意可知F(-c,0)
∵
e=
1
2
,∴b=
3
c,即B(0,
3
c)
,∴
k
BF
=
3
c
0-(-c)
=
3
又∵BC⊥BF,∴
k
BC
=-
3
3
,
∴C(3c,0),∴圆M的圆心坐标为(c,0),半径为2c由直线x+
3
y+3=0与圆M相切可得
|c+3|
1+
(
3
)
2
=2c,
∴c=1,∴椭圆的方程为
x
2
4
+
y
2
3
=1
.
(II)由题意可设直线l的方程为y=k(x+1)(k≠0),设P(x
1
,y
1
),Q(x
2
,y
2
)
∵直线NP与直线NQ关于x轴对称,
∴k
NP
=-k
NQ
,即
y
1
x
1
-
x
0
=-
y
2
x
2
-
x
0
∴
k(
x
1
+1)
x
1
-
x
0
=-
k(
x
2
+1)
x
2
-
x
0
,∴
x
0
=
x
1
+
x
2
+2
x
1
x
2
x
1
+
x
2
+2
∵
y=k(x+1)
x
2
4
+
y
2
3
=1
,∴3x
2
+4k
2
(x+1)
2
=12
∴(3+4k
2
)x
2
+8k
2
x+4k
2
-12=0,
∴
x
1
+
x
2
=-
8
k
2
3+4
k
2
,
x
1
x
2
=
4
k
2
-12
3+4
k
2
,
∴
x
0
=
-
8
k
2
3+4
k
2
+
8
k
2
-24
3+4
k
2
2-
8
k
2
3+4
k
2
=-4
举一反三
若椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
过点(-3,2)离心率为
3
3
,⊙O的圆心为原点,直径为椭圆的短轴,⊙M的方程为(x-8)
2
+(y-6)
2
=4,过⊙M上任一点P作⊙的切线PA、PB切点为A、B.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线PA与⊙M的另一交点为Q当弦PQ最大时,求直线PA的直线方程;
(3)求
OA
•
OB
的最大值与最小值.
题型:不详
难度:
|
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过点(-3,2)且与
有相同焦点的椭圆的方程是( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆的焦点是
F
1
(0,-
3
),
F
2
(0,
3
)
,点P在椭圆上且满足|PF
1
|+|PF
2
|=4,则椭圆的标准方程是______.
题型:不详
难度:
|
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△ABC的周长是8,B(-1,0),C(1,0),则顶点A的轨迹方程是( )
A.
(x≠±3)
B.
(x≠0)
C.
(y≠0)
D.
(y≠0)
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆E:
(a>b>0)
的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆E于A、B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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