已知椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)经过点(12,3),一个焦点是F(0,-3).(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设椭圆C与y轴的两个交点为A1、A2,

已知椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)经过点(12,3),一个焦点是F(0,-3).(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设椭圆C与y轴的两个交点为A1、A2,

题型:丹东模拟难度:来源:
已知椭圆C:
y2
a2
+
x2
b2
=1
(a>b>0)经过点(
1
2


3
),一个焦点是F(0,-


3
).
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设椭圆C与y轴的两个交点为A1、A2,点P在直线y=a2上,直线PA1、PA2分别与椭圆C交于M、N两点.试问:当点P在直线y=a2上运动时,直线MN是否恒经过定点Q?证明你的结论.
答案
(I)一个焦点是F(0,-


3
),故c=


3
,可设椭圆方程为
y2
3+b2
+
x2
b2
=1
      …(2分)
∵点(
1
2


3
)在椭圆上,∴
3
3+b2
+
1
4b2
=1

∴b2=1,b2=
3
4
(舍去)
∴椭圆方程为
y2
4
+x2=1
                      …(4分)
(II)直线MN恒经过定点Q(0,1),证明如下:
当MN斜率不存在时,直线MN即y轴,通过点Q(0,1),…(6分)
当点P不在y轴上时,设P(t,4),A1(0,2)、A2(0,-2),M(x1,y1),N(x2,y2),
直线PA1方程y=
2
t
x+2
,PA2方程y=
6
t
x-2

y=
2
t
x+2
代入
y2
4
+x2=1
得(1+t2)x2+2tx=0,
得x1=-
2t
1+t2
,y1=
2t2-2
1+t2
,∴kQM=
y1-1
x1
=
3-t2
2t
,…(8分)
y=
6
t
x-2
代入
y2
4
+x2=1
得(9+t2)x2-6tx=0
得x2=
6t
9+t2
,y2=
18-6t2
9+t2
,∴kQN=
y2-1
x2
=
3-t2
2t
,…(10分)
∴kQM=kQN,∴直线MN恒经过定点Q(0,1).        …(12分)
举一反三
设椭圆C:
x2
a2
+
y2
5
=1
(a>0)的左右焦点分别为F1、F2,A是椭圆C上的一点,


AF2


F1F2
=0
,坐标原点O到直线AF1的距离为
1
3
|OF1|.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设Q是椭圆C上的一点,过点Q的直线l交x轴于点F(-1,0),交y轴于点M,若|


MQ
|=2|


QF
|,求直线l的斜率.
题型:不详难度:| 查看答案
已知椭圆G:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的离心率e=
1
2
,且经过点P(1,
3
2
)

(Ⅰ)求椭圆G的方程;
(Ⅱ)设直线l:y=
1
2
x+m
与椭圆G交于A、B两点,线段AB的垂直平分线交x轴于点T,当m变化时,求△TAB面积的最大值.
题型:顺义区一模难度:| 查看答案
在Rt△ABC中,∠CAB=90°,AB=2,AC=


2
2
,一曲线E过C点,动点P在曲线E上运动,且保持|PA|+|PB|的值不变.
(1)建立适当的坐标系,求曲线E的方程;
(2)直线l:y=x+t与曲线E交于M,N两点,求四边形MANB的面积的最大值.
题型:不详难度:| 查看答案
已知圆C:(x+2)2+y2=24,定点A(2,0),M为圆C上一动点,点P在AM上,点N在CM上(C为圆心),且满足
.
AM
= 2
.
AP
.
NP
-
.
AM
=0
,设点N的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程;
(2)过点B(m,0)作倾斜角为
5
6
π
的直线l交曲线E于C、D两点.若点Q(1,0)恰在以线段CD为直径的圆的内部,求实数m的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
已知曲线C的方程为kx2+(4-k)y2=k+1(k∈R).
(1)若曲线C是椭圆,求k的取值范围;
(2)若曲线C是双曲线,且有一条渐近线的倾斜角是60°,求此双曲线的方程;
(3)满足(2)的双曲线上是否存在两点P、Q关于直线l:y=x-1对称,若存在,求出过P、Q的直线方程;若不存在,说明理由.
题型:不详难度:| 查看答案
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