在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=22，一曲线E过C点，动点P在曲线E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变．（1）建立适当的坐标系，求曲线

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在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=

，一曲线E过C点，动点P在曲线E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变．
（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；
（2）直线l：y=x+t与曲线E交于M，N两点，求四边形MANB的面积的最大值．

答案

（1）以AB为x轴，以AB中点为原点O建立直角坐标系．
∵|PA|+|PB|=|CA|+|CB|=

22+(

，
∴动点轨迹为椭圆，且a=

，c=1，从而b=1．
∴方程为

+y²=1
（2）将y=x+t代入方程

+y²=1，得3x²+4tx+2t²-2=0．
设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
∴△=16t²-4•3•（2t²-2）＞0①，
x₁+x₂=-

②，
x₁x₂=

2t2-2

③，
由①得t²＜3，
∴S_MANB=

|AB||y₁-y₂|=|y₁-y₂|=|x₁-x₂|=

6-2t2

．

举一反三

已知圆C：（x+2）²+y²=24，定点A（2，0），M为圆C上一动点，点P在AM上，点N在CM上（C为圆心），且满足

= 2

，

=0，设点N的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）过点B（m，0）作倾斜角为

π的直线l交曲线E于C、D两点．若点Q（1，0）恰在以线段CD为直径的圆的内部，求实数m的取值范围．

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已知曲线C的方程为kx²+（4-k）y²=k+1（k∈R）．
（1）若曲线C是椭圆，求k的取值范围；
（2）若曲线C是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60°，求此双曲线的方程；
（3）满足（2）的双曲线上是否存在两点P、Q关于直线l：y=x-1对称，若存在，求出过P、Q的直线方程；若不存在，说明理由．

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已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆过M（1，

），N（-

，

）两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）在椭圆上是否存在点P（x，y）到定点A（a，0）（其中0＜a＜3）的距离的最小值为1，若存在，求出a的值及点P的坐标；若不存在，请给予证明．

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已知椭圆C：

=1(a＞b＞0)，其相应于焦点F（2，0）的准线方程为x=4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知过点F₁（-2，0）倾斜角为θ的直线交椭圆C于A，B两点．
求证：|AB|=

2-cos2θ

；
（Ⅲ）过点F₁（-2，0）作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于点A、B和D、E，求|AB|+|DE|的最小值．

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已知椭圆C1：

=1的左、右两个焦点为F₁、F₂，离心率为

，又抛物线C₂：y²=4mx（m＞0）与椭圆C₁有公共焦点F₂（1，0）．
（1）求椭圆和抛物线的方程；
（2）设直线l经过椭圆的左焦点F₁且与抛物线交于不同两点P、Q，且满足

F1P

=λ

F1Q

，求实数λ的取值范围．

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