已知中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆过M(1,423),N(-322,2)两点.(1)求椭圆的方程;(2)在椭圆上是否存在点P(x,y)到定点A(a,0)(其中

已知中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆过M(1,423),N(-322,2)两点.(1)求椭圆的方程;(2)在椭圆上是否存在点P(x,y)到定点A(a,0)(其中

题型:不详难度:来源:
已知中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆过M(1,
4


2
3
),N(-
3


2
2


2
)两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)在椭圆上是否存在点P(x,y)到定点A(a,0)(其中0<a<3)的距离的最小值为1,若存在,求出a的值及点P的坐标;若不存在,请给予证明.
答案
(1)设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,且m≠n)
∵椭圆过M,N两点





m+
32
9
n=1
9
2
m+2n=1





m=
1
9
n=
1
4
,即椭圆方程为
x2
9
+
y2
4
=1.
(2)设存在点P(x,y)满足题设条件,由
x2
9
+
y2
4
=1,得y2=4(1-
x2
9

∴|AP|2=(x-a)2+y2=(x-a)2+4(1-
x2
9
)=
5
9
(x-
9
5
a)2+4-
4
5
a2(|x|≤3),
当|
9a
5
|≤3即0<a≤
5
3
时,|AP|2的最小值为4-
4
5
a2
∴4-
4
5
a2=1⇒a=±


15
2
∉(0,
5
3
]
9
5
a>3即
5
3
<a<3,此时当x=3时,|AP|2的最小值为(3-a)2
∴(3-a)2=1,即a=2,此时点P的坐标是(3,0)
故当a=2时,存在这样的点P满足条件,P点的坐标是(3,0).
举一反三
已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,其相应于焦点F(2,0)的准线方程为x=4.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)已知过点F1(-2,0)倾斜角为θ的直线交椭圆C于A,B两点.
求证:|AB|=
4


2
2-cos2θ

(Ⅲ)过点F1(-2,0)作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于点A、B和D、E,求|AB|+|DE|的最小值.
题型:安徽难度:| 查看答案
已知椭圆C1
x2
a2
+
y2
b2
=1
的左、右两个焦点为F1、F2,离心率为
1
2
,又抛物线C2:y2=4mx(m>0)与椭圆C1有公共焦点F2(1,0).
(1)求椭圆和抛物线的方程;
(2)设直线l经过椭圆的左焦点F1且与抛物线交于不同两点P、Q,且满足


F1P


F1Q
,求实数λ的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2,1),平行于OM的直线l交椭圆于A、B两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知e=(t,0),p=λ(


MA
|


MA
|
+


MB
|


MB
|
)
,是否对任意的正实数t,λ,都有


e


p
=0
成立?请证明你的结论.
题型:杭州二模难度:| 查看答案
已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率


3
2
,椭圆C上任一点到两个焦点的距离和为4,直线l过点P(1,0)与椭圆C交于不同的两点A,B.
(I)求椭圆C的方程;
(II) 若


AP


PB
,试求实数λ的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
椭圆的中心在坐标原点,离心率等于
1
2
,抛物线y2=-4x的准线l过它的一个焦点,则椭圆方程为______.
题型:不详难度:| 查看答案
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