已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1的左、右两个焦点为F1、F2,离心率为12,又抛物线C2:y2=4mx(m>0)与椭圆C1有公共焦点F2(1,0).(1)求
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已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1的左、右两个焦点为F1、F2,离心率为12,又抛物线C2:y2=4mx(m>0)与椭圆C1有公共焦点F2(1,0).(1)求
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆
C
1
:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
的左、右两个焦点为F
1
、F
2
,离心率为
1
2
,又抛物线C
2
:y
2
=4mx(m>0)与椭圆C
1
有公共焦点F
2
(1,0).
(1)求椭圆和抛物线的方程;
(2)设直线l经过椭圆的左焦点F
1
且与抛物线交于不同两点P、Q,且满足
F
1
P
=λ
F
1
Q
,求实数λ的取值范围.
答案
(1)在椭圆中,c=1,
e=
1
2
,所以
a=2,b=
a
2
-
c
2
=
3
,故椭圆方程为
x
2
4
+
y
2
3
=1
…(2分)
抛物线中,
p
2
=1
,所以p=2,故抛物线方程为y
2
=4x…(4分)
(2)设直线l的方程为y=k(x+1)和抛物线方程联立,得
y=k(x+1)
y
2
=4x.
消去y,整理得k
2
x
2
+(2k
2
-4)x+k
2
=0,
因为直线和抛物线有两个交点,所以k≠0,(2k
2
-4)
2
-4k
4
>0.
解得-1<k<1且k≠0…(6分)
设P(x
1
,y
1
),Q(x
2
,y
2
),则
x
1
+
x
2
=
4-2
k
2
k
2
,x
1
x
2
=1…(8分)
又
F
1
P
=λ
F
1
Q
,所以
x
1
+1=λ(
x
2
+1)
y
1
=λ
y
2
.
又y
2
=4x,由此得4x
1
=λ
2
4x
2
,即x
1
=λ
2
x
2
.
由x
1
x
2
=1,解得x
1
=λ,x
2
=
1
λ
…(10分)
又
x
1
+
x
2
=
4-2
k
2
k
2
=
4
k
2
-2
,所以
λ+
1
λ
=
4
k
2
-2
.
又因为0<k
2
<1,所以
λ+
1
λ
=
4
k
2
-2>2
,
解得λ>0且λ≠1…(14分)
举一反三
已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2,1),平行于OM的直线l交椭圆于A、B两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知
e=(t,0),p=λ(
MA
|
MA
|
+
MB
|
MB
|
)
,是否对任意的正实数t,λ,都有
e
•
p
=0
成立?请证明你的结论.
题型:杭州二模
难度:
|
查看答案
已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的离心率
3
2
,椭圆C上任一点到两个焦点的距离和为4,直线l过点P(1,0)与椭圆C交于不同的两点A,B.
(I)求椭圆C的方程;
(II) 若
AP
=λ
PB
,试求实数λ的取值范围.
题型:不详
难度:
|
查看答案
椭圆的中心在坐标原点,离心率等于
1
2
,抛物线y
2
=-4x的准线l过它的一个焦点,则椭圆方程为______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,离心率
e=
3
2
,且点P(-2,0)在椭圆C上.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)已知A、B为椭圆C上的动点,当PA⊥PB时,求证:直线AB恒过一个定点.并求出该定点的坐标.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1的两个焦点分别是F
1
(-1,0)、F
2
(1,0),且焦距是椭圆C上一点p到两焦点F
1
,F
2
距离的等差中项.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设经过点F
2
的直线交椭圆C于M,N两点,线段MN的垂直平分线交y轴于点Q(x
0
,y
0
),求y
0
的取值范围.
题型:杨浦区一模
难度:
|
查看答案
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